Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpscmatgsumbin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpscmatgsumbin 20468
 Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix, expressed as finite group sum of binomials. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chp0mat.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chp0mat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x 𝑋 = (var1𝑅)
chp0mat.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m = (.g𝐺)
chpscmat.d 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))}
chpscmat.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpscmat.m = (-g𝑃)
chpscmatgsum.f 𝐹 = (.g𝑃)
chpscmatgsum.h 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
chpscmatgsum.e 𝐸 = (.g𝐻)
chpscmatgsum.i 𝐼 = (invg𝑅)
chpscmatgsum.s · = ( ·𝑠𝑃)
Assertion
Ref Expression
chpscmatgsumbin (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶𝑀) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) ↦ (((#‘𝑁)C𝑙)𝐹((((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋))))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝐴,𝑐,𝑚   𝐷,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑀,𝑐,𝑖,𝑗,𝑚,𝑛   𝑁,𝑐,𝑚,𝑛   𝑃,𝑛   𝑅,𝑐,𝑚,𝑛   𝑆,𝑛   𝐷,𝑙   𝐹,𝑙   𝐼,𝑙   𝐽,𝑙,𝑛   𝑀,𝑙   𝑁,𝑙   𝑃,𝑙   𝑅,𝑙   𝑆,𝑙   𝑋,𝑙   ,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑙)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝑃(𝑚,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   · (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐,𝑙)   (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝐽(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝑋(𝑚,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem chpscmatgsumbin
StepHypRef Expression
1 chp0mat.c . . 3 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2 chp0mat.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 chp0mat.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 chp0mat.x . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
5 chp0mat.g . . 3 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
6 chp0mat.m . . 3 = (.g𝐺)
7 chpscmat.d . . 3 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))}
8 chpscmat.s . . 3 𝑆 = (algSc‘𝑃)
9 chpscmat.m . . 3 = (-g𝑃)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9chpscmat0 20467 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶𝑀) = ((#‘𝑁) (𝑋 (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))))
11 crngring 18381 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1211adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
13 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
144, 2, 13vr1cl 19408 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
1512, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
1615adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
1711ad2antlr 759 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑅 ∈ Ring)
18 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
192ply1ring 19439 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
202ply1lmod 19443 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
21 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
228, 18, 19, 20, 21, 13asclf 19158 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
2317, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
24 simpr2 1061 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝐽𝑁)
25 elrabi 3328 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))} → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
2625a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g𝑅))} → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
2726, 7eleq2s 2706 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐷 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
28273ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
2928impcom 445 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
30 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
313, 30matecl 20050 . . . . . . . 8 ((𝐽𝑁𝐽𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
3224, 24, 29, 31syl3anc 1318 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
332ply1sca 19444 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
3433adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
3534eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
3635adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
3736fveq2d 6107 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
3832, 37eleqtrrd 2691 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
3923, 38ffvelrnd 6268 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
40 eqid 2610 . . . . . 6 (+g𝑃) = (+g𝑃)
41 eqid 2610 . . . . . 6 (invg𝑃) = (invg𝑃)
4213, 40, 41, 9grpsubval 17288 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋 (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑋(+g𝑃)((invg𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))))
4316, 39, 42syl2anc 691 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑋 (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑋(+g𝑃)((invg𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))))
4412, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ LMod)
4544adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑃 ∈ LMod)
4612, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Ring)
4746adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑃 ∈ Ring)
48 eqid 2610 . . . . . . . 8 (invg‘(Scalar‘𝑃)) = (invg‘(Scalar‘𝑃))
498, 18, 21, 48, 41asclinvg 19162 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((invg𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽))))
5045, 47, 38, 49syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((invg𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽))))
51 chpscmatgsum.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (invg𝑅)
5234fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (invg𝑅) = (invg‘(Scalar‘𝑃)))
5352adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (invg𝑅) = (invg‘(Scalar‘𝑃)))
5451, 53syl5req 2657 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (invg‘(Scalar‘𝑃)) = 𝐼)
5554fveq1d 6105 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽)) = (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))
5655fveq2d 6107 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑆‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))
5750, 56eqtrd 2644 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((invg𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))
5857oveq2d 6565 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑋(+g𝑃)((invg𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))) = (𝑋(+g𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))))
5943, 58eqtrd 2644 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑋 (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑋(+g𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))))
6059oveq2d 6565 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((#‘𝑁) (𝑋 (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))) = ((#‘𝑁) (𝑋(+g𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))))
61 simplr 788 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑅 ∈ CRing)
62 hashcl 13009 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (#‘𝑁) ∈ ℕ0)
6362ad2antrr 758 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (#‘𝑁) ∈ ℕ0)
64 ringgrp 18375 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6511, 64syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Grp)
6665ad2antlr 759 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑅 ∈ Grp)
6730, 51grpinvcl 17290 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅))
6866, 32, 67syl2anc 691 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅))
69 eqid 2610 . . . . 5 (.r𝑃) = (.r𝑃)
70 chpscmatgsum.f . . . . 5 𝐹 = (.g𝑃)
71 chpscmatgsum.h . . . . 5 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
72 chpscmatgsum.e . . . . 5 𝐸 = (.g𝐻)
732, 4, 40, 69, 70, 5, 6, 30, 8, 71, 72lply1binomsc 19498 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (#‘𝑁) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((#‘𝑁) (𝑋(+g𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) ↦ (((#‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r𝑃)(𝑙 𝑋))))))
7461, 63, 68, 73syl3anc 1318 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((#‘𝑁) (𝑋(+g𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) ↦ (((#‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r𝑃)(𝑙 𝑋))))))
752ply1assa 19390 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
7675adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
7776ad2antrr 758 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → 𝑃 ∈ AssAlg)
7871ringmgp 18376 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
7912, 78syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐻 ∈ Mnd)
8079ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → 𝐻 ∈ Mnd)
81 fznn0sub 12244 . . . . . . . . . 10 (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) → ((#‘𝑁) − 𝑙) ∈ ℕ0)
8281adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → ((#‘𝑁) − 𝑙) ∈ ℕ0)
8371, 30mgpbas 18318 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐻)
8468, 83syl6eleq 2698 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝐻))
8584adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝐻))
86 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
8786, 72mulgnn0cl 17381 . . . . . . . . 9 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ ((#‘𝑁) − 𝑙) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝐻)) → (((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘𝐻))
8880, 82, 85, 87syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → (((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘𝐻))
8935fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
9089, 83syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝐻))
9190ad2antrr 758 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝐻))
9288, 91eleqtrrd 2691 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → (((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
935ringmgp 18376 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
9411, 19, 933syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
9594ad2antlr 759 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → 𝐺 ∈ Mnd)
96 elfznn0 12302 . . . . . . . . . 10 (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
9796adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
9815adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
995, 13mgpbas 18318 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
10099, 6mulgnn0cl 17381 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑙 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑙 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
10195, 97, 98, 100syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → (𝑙 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
102101adantlr 747 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → (𝑙 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
103 chpscmatgsum.s . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑃)
1048, 18, 21, 13, 69, 103asclmul1 19160 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ (((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑙 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑆‘(((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r𝑃)(𝑙 𝑋)) = ((((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋)))
10577, 92, 102, 104syl3anc 1318 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → ((𝑆‘(((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r𝑃)(𝑙 𝑋)) = ((((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋)))
106105oveq2d 6565 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁))) → (((#‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r𝑃)(𝑙 𝑋))) = (((#‘𝑁)C𝑙)𝐹((((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋))))
107106mpteq2dva 4672 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) ↦ (((#‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r𝑃)(𝑙 𝑋)))) = (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) ↦ (((#‘𝑁)C𝑙)𝐹((((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋)))))
108107oveq2d 6565 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) ↦ (((#‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r𝑃)(𝑙 𝑋))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) ↦ (((#‘𝑁)C𝑙)𝐹((((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋))))))
10974, 108eqtrd 2644 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((#‘𝑁) (𝑋(+g𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) ↦ (((#‘𝑁)C𝑙)𝐹((((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋))))))
11010, 60, 1093eqtrd 2648 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐷𝐽𝑁 ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶𝑀) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(#‘𝑁)) ↦ (((#‘𝑁)C𝑙)𝐹((((#‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 𝑋))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  ifcif 4036   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  Ccbc 12951  #chash 12979  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  Mndcmnd 17117  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  -gcsg 17247  .gcmg 17363  mulGrpcmgp 18312  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  LModclmod 18686  AssAlgcasa 19130  algSccascl 19132  var1cv1 19367  Poly1cpl1 19368   Mat cmat 20032   CharPlyMat cchpmat 20450 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-xor 1457  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-reverse 13160  df-s2 13444  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-symg 17621  df-pmtr 17685  df-psgn 17734  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-srg 18329  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-assa 19133  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-vr1 19372  df-ply1 19373  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mamu 20009  df-mat 20033  df-mdet 20210  df-mat2pmat 20331  df-chpmat 20451 This theorem is referenced by:  chpscmatgsummon  20469
 Copyright terms: Public domain W3C validator