MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgpcompp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgpcompp 18356
Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgpcomp.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m × = (.r𝑅)
srgpcomp.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e = (.g𝐺)
srgpcomp.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a (𝜑𝐴𝑆)
srgpcomp.b (𝜑𝐵𝑆)
srgpcomp.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgpcompp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
srgpcompp (𝜑 → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵)))

Proof of Theorem srgpcompp
StepHypRef Expression
1 srgpcomp.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
2 srgpcomp.g . . . . . 6 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
32srgmgp 18333 . . . . 5 (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
5 srgpcompp.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 srgpcomp.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
7 srgpcomp.s . . . . . 6 𝑆 = (Base‘𝑅)
82, 7mgpbas 18318 . . . . 5 𝑆 = (Base‘𝐺)
9 srgpcomp.e . . . . 5 = (.g𝐺)
108, 9mulgnn0cl 17381 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑆) → (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆)
114, 5, 6, 10syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆)
12 srgpcomp.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
13 srgpcomp.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑆)
148, 9mulgnn0cl 17381 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝐵𝑆) → (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)
154, 12, 13, 14syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)
16 srgpcomp.m . . . 4 × = (.r𝑅)
177, 16srgass 18336 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆)) → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
181, 11, 15, 6, 17syl13anc 1320 . 2 (𝜑 → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
19 srgpcomp.c . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
207, 16, 2, 9, 1, 6, 13, 12, 19srgpcomp 18355 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 𝐵) × 𝐴) = (𝐴 × (𝐾 𝐵)))
2120oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = ((𝑁 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 𝐵))))
227, 16srgass 18336 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 𝐴) ∈ 𝑆𝐴𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)) → (((𝑁 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 𝐵)) = ((𝑁 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 𝐵))))
231, 11, 6, 15, 22syl13anc 1320 . . 3 (𝜑 → (((𝑁 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 𝐵)) = ((𝑁 𝐴) × (𝐴 × (𝐾 𝐵))))
2421, 23eqtr4d 2647 . 2 (𝜑 → ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = (((𝑁 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 𝐵)))
252, 16mgpplusg 18316 . . . . . 6 × = (+g𝐺)
268, 9, 25mulgnn0p1 17375 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑆) → ((𝑁 + 1) 𝐴) = ((𝑁 𝐴) × 𝐴))
274, 5, 6, 26syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 + 1) 𝐴) = ((𝑁 𝐴) × 𝐴))
2827eqcomd 2616 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 𝐴) × 𝐴) = ((𝑁 + 1) 𝐴))
2928oveq1d 6564 . 2 (𝜑 → (((𝑁 𝐴) × 𝐴) × (𝐾 𝐵)) = (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵)))
3018, 24, 293eqtrd 2648 1 (𝜑 → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818  0cn0 11169  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  Mndcmnd 17117  .gcmg 17363  mulGrpcmgp 18312  SRingcsrg 18328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mulg 17364  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-srg 18329
This theorem is referenced by:  srgpcomppsc  18357
  Copyright terms: Public domain W3C validator