Theorem odmodnn0 17782

Description: Reduce the argument of a group multiple by modding out the order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odmodnn0	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Proof of Theorem odmodnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1057	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
2		nnnn0 11176	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
4		simpl3 1059	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 11229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
6		nnrp 11718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+)
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+)
8	5, 7	rerpdivcld 11779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ)
9	4	nn0ge0d 11231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑁)
10		nnre 10904	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
12		nngt0 10926	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → 0 < (𝑂‘𝐴))
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 0 < (𝑂‘𝐴))
14		divge0 10771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑂‘𝐴))) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑂‘𝐴)))
15	5, 9, 11, 13, 14	syl22anc 1319	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑂‘𝐴)))
16		flge0nn0 12483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 / (𝑂‘𝐴))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℕ0)
17	8, 15, 16	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℕ0)
18	3, 17	nn0mulcld 11233	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) ∈ ℕ0)
19	4	nn0zd 11356	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		zmodcl 12552	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
21	19, 20	sylancom 698	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
22		simpl2 1058	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
23		odcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
24		odid.3	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
25		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
26	23, 24, 25	mulgnn0dir 17394	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) · 𝐴) = ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴)(+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)))
27	1, 18, 21, 22, 26	syl13anc 1320	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) · 𝐴) = ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴)(+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)))
28	11	recnd 9947	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℂ)
29	17	nn0cnd 11230	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℂ)
30	28, 29	mulcomd 9940	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)))
31	30	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴) = (((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
32	23, 24	mulgnn0ass 17401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)))
33	1, 17, 3, 22, 32	syl13anc 1320	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)))
34		odcl.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
35		odid.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
36	23, 34, 24, 35	odid 17780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
37	22, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = 0 )
38	37	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · 0 ))
39	23, 24, 35	mulgnn0z 17390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · 0 ) = 0 )
40	1, 17, 39	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · 0 ) = 0 )
41	38, 40	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · ((𝑂‘𝐴) · 𝐴)) = 0 )
42	33, 41	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))) · (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 )
43	31, 42	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴) = 0 )
44	43	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) · 𝐴)(+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) = ( 0 (+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)))
45	27, 44	eqtrd 2644	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) · 𝐴) = ( 0 (+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)))
46		modval 12532	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))))))
47	5, 7, 46	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = (𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴))))))
48	47	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) = (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))))))
49	18	nn0cnd 11230	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) ∈ ℂ)
50	4	nn0cnd 11230	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
51	49, 50	pncan3d 10274	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 − ((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))))) = 𝑁)
52	48, 51	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) = 𝑁)
53	52	oveq1d 6564	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂‘𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂‘𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
54	23, 24	mulgnn0cl 17381	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) ∈ 𝑋)
55	1, 21, 22, 54	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) ∈ 𝑋)
56	23, 25, 35	mndlid 17134	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) ∈ 𝑋) → ( 0 (+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
57	1, 55, 56	syl2anc 691	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ( 0 (+g‘𝐺)((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) = ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
58	45, 53, 57	3eqtr3rd 2653	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℝ⁺crp 11708  ⌊cfl 12453   mod cmo 12530  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  0_gc0g 15923  Mndcmnd 17117  ._gcmg 17363  odcod 17767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mulg 17364  df-od 17771

This theorem is referenced by:  mndodcong  17784