Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgmhm 18056
 Description: The map from 𝑥 to 𝑛𝑥 for a fixed positive integer 𝑛 is a monoid homomorphism if the monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmhm.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgmhm.m · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgmhm ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥, ·

Proof of Theorem mulgmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmnmnd 18031 . . . 4 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
21adantr 480 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
32, 2jca 553 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd))
4 mulgmhm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 mulgmhm.m . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
64, 5mulgnn0cl 17381 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑥𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
71, 6syl3an1 1351 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑥𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
873expa 1257 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
9 eqid 2610 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))
108, 9fmptd 6292 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵𝐵)
11 3anass 1035 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑦𝐵𝑧𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)))
12 eqid 2610 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
134, 5, 12mulgnn0di 18054 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
1411, 13sylan2br 492 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵))) → (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
1514anassrs 678 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
164, 12mndcl 17124 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
17163expb 1258 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
182, 17sylan 487 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
19 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
20 ovex 6577 . . . . . . 7 (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∈ V
2119, 9, 20fvmpt 6191 . . . . . 6 ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
2218, 21syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
23 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
24 ovex 6577 . . . . . . . 8 (𝑀 · 𝑦) ∈ V
2523, 9, 24fvmpt 6191 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦) = (𝑀 · 𝑦))
26 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑧))
27 ovex 6577 . . . . . . . 8 (𝑀 · 𝑧) ∈ V
2826, 9, 27fvmpt 6191 . . . . . . 7 (𝑧𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧) = (𝑀 · 𝑧))
2925, 28oveqan12d 6568 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
3029adantl 481 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
3115, 22, 303eqtr4d 2654 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
3231ralrimivva 2954 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
33 eqid 2610 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
344, 33mndidcl 17131 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
35 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝐺) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (0g𝐺)))
36 ovex 6577 . . . . . 6 (𝑀 · (0g𝐺)) ∈ V
3735, 9, 36fvmpt 6191 . . . . 5 ((0g𝐺) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g𝐺)) = (𝑀 · (0g𝐺)))
382, 34, 373syl 18 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g𝐺)) = (𝑀 · (0g𝐺)))
394, 5, 33mulgnn0z 17390 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g𝐺)) = (0g𝐺))
401, 39sylan 487 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g𝐺)) = (0g𝐺))
4138, 40eqtrd 2644 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g𝐺)) = (0g𝐺))
4210, 32, 413jca 1235 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g𝐺)) = (0g𝐺)))
434, 4, 12, 12, 33, 33ismhm 17160 . 2 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺) ↔ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g𝐺)) = (0g𝐺))))
443, 42, 43sylanbrc 695 1 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Mndcmnd 17117   MndHom cmhm 17156  .gcmg 17363  CMndccmn 18016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-mulg 17364  df-cmn 18018 This theorem is referenced by:  gsummulglem  18164
 Copyright terms: Public domain W3C validator