Theorem mulgmhm 18056

Description: The map from 𝑥 to 𝑛𝑥 for a fixed positive integer 𝑛 is a monoid homomorphism if the monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgmhm.m	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgmhm	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥, ·

Proof of Theorem mulgmhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmnmnd 18031	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
3	2, 2	jca 553	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd))
4		mulgmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgmhm.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	4, 5	mulgnn0cl 17381	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
7	1, 6	syl3an1 1351	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
8	7	3expa 1257	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
9		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))
10	8, 9	fmptd 6292	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵)
11		3anass 1035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)))
12		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13	4, 5, 12	mulgnn0di 18054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
14	11, 13	sylan2br 492	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
15	14	anassrs 678	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
16	4, 12	mndcl 17124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
17	16	3expb 1258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
18	2, 17	sylan 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
19		oveq2 6557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
20		ovex 6577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∈ V
21	19, 9, 20	fvmpt 6191	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
22	18, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
23		oveq2 6557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
24		ovex 6577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 · 𝑦) ∈ V
25	23, 9, 24	fvmpt 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦) = (𝑀 · 𝑦))
26		oveq2 6557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑧))
27		ovex 6577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 · 𝑧) ∈ V
28	26, 9, 27	fvmpt 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧) = (𝑀 · 𝑧))
29	25, 28	oveqan12d 6568	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
30	29	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
31	15, 22, 30	3eqtr4d 2654	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
32	31	ralrimivva 2954	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
33		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
34	4, 33	mndidcl 17131	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
35		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (0g‘𝐺)))
36		ovex 6577	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 · (0g‘𝐺)) ∈ V
37	35, 9, 36	fvmpt 6191	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (𝑀 · (0g‘𝐺)))
38	2, 34, 37	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (𝑀 · (0g‘𝐺)))
39	4, 5, 33	mulgnn0z 17390	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
40	1, 39	sylan 487	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
41	38, 40	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
42	10, 32, 41	3jca 1235	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺)))
43	4, 4, 12, 12, 33, 33	ismhm 17160	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺) ↔ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))))
44	3, 42, 43	sylanbrc 695	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℕ₀cn0 11169  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  0_gc0g 15923  Mndcmnd 17117   MndHom cmhm 17156  ._gcmg 17363  CMndccmn 18016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-mulg 17364  df-cmn 18018

This theorem is referenced by:  gsummulglem  18164