Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0ass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0ass 17401
 Description: Product of group multiples, generalized to ℕ0. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgass.t · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0ass ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnn0ass
StepHypRef Expression
1 mndsgrp 17122 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ SGrp)
21adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝐺 ∈ SGrp)
32adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ SGrp)
4 simprl 790 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℕ)
5 simprr 792 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6 simpr3 1062 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝑋𝐵)
76adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋𝐵)
8 mulgass.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
9 mulgass.t . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
108, 9mulgnnass 17399 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ SGrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
113, 4, 5, 7, 10syl13anc 1320 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
1211expr 641 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
13 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
148, 13, 9mulg0 17369 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
156, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
16 simpr1 1060 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1716nn0cnd 11230 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℂ)
1817mul01d 10114 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑀 · 0) = 0)
1918oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2015oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑀 · (0 · 𝑋)) = (𝑀 · (0g𝐺)))
218, 9, 13mulgnn0z 17390 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g𝐺)) = (0g𝐺))
22213ad2antr1 1219 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑀 · (0g𝐺)) = (0g𝐺))
2320, 22eqtrd 2644 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑀 · (0 · 𝑋)) = (0g𝐺))
2415, 19, 233eqtr4d 2654 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (𝑀 · (0 · 𝑋)))
2524adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (𝑀 · (0 · 𝑋)))
26 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
2726oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 0) · 𝑋))
28 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2928oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · (0 · 𝑋)))
3027, 29eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((𝑀 · 0) · 𝑋) = (𝑀 · (0 · 𝑋))))
3125, 30syl5ibrcom 236 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
32 simpr2 1061 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33 elnn0 11171 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3432, 33sylib 207 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3534adantr 480 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3612, 31, 35mpjaod 395 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
3736ex 449 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
3832nn0cnd 11230 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3938mul02d 10113 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (0 · 𝑁) = 0)
4039oveq1d 6564 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((0 · 𝑁) · 𝑋) = (0 · 𝑋))
418, 9mulgnn0cl 17381 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
42413adant3r1 1266 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
438, 13, 9mulg0 17369 . . . . 5 ((𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑁 · 𝑋)) = (0g𝐺))
4442, 43syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (0 · (𝑁 · 𝑋)) = (0g𝐺))
4515, 40, 443eqtr4d 2654 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((0 · 𝑁) · 𝑋) = (0 · (𝑁 · 𝑋)))
46 oveq1 6556 . . . . 5 (𝑀 = 0 → (𝑀 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
4746oveq1d 6564 . . . 4 (𝑀 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = ((0 · 𝑁) · 𝑋))
48 oveq1 6556 . . . 4 (𝑀 = 0 → (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) = (0 · (𝑁 · 𝑋)))
4947, 48eqeq12d 2625 . . 3 (𝑀 = 0 → (((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((0 · 𝑁) · 𝑋) = (0 · (𝑁 · 𝑋))))
5045, 49syl5ibrcom 236 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑀 = 0 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
51 elnn0 11171 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
5216, 51sylib 207 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
5337, 50, 52mpjaod 395 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   · cmul 9820  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  0gc0g 15923  SGrpcsgrp 17106  Mndcmnd 17117  .gcmg 17363 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mulg 17364 This theorem is referenced by:  mulgass  17402  odmodnn0  17782
 Copyright terms: Public domain W3C validator