MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0z 17390
Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0z.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0z.t · = (.g𝐺)
mulgnn0z.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0z ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mulgnn0z
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11171 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
3 mulgnn0z.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 mulgnn0z.o . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
53, 4mndidcl 17131 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → 0𝐵)
6 eqid 2610 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
7 mulgnn0z.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
8 eqid 2610 . . . . . 6 seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 })) = seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))
93, 6, 7, 8mulgnn 17370 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 0𝐵) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
102, 5, 9syl2anr 494 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
113, 6, 4mndlid 17134 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐵) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
125, 11mpdan 699 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
14 simpr 476 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
15 nnuz 11599 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
1614, 15syl6eleq 2698 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
175adantr 480 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0𝐵)
18 elfznn 12241 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
19 fvconst2g 6372 . . . . . 6 (( 0𝐵𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
2017, 18, 19syl2an 493 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
2113, 16, 20seqid3 12707 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁) = 0 )
2210, 21eqtrd 2644 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
23 oveq1 6556 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 0 ) = (0 · 0 ))
243, 4, 7mulg0 17369 . . . . 5 ( 0𝐵 → (0 · 0 ) = 0 )
255, 24syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (0 · 0 ) = 0 )
2623, 25sylan9eqr 2666 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
2722, 26jaodan 822 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
281, 27sylan2b 491 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  {csn 4125   × cxp 5036  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  cn 10897  0cn0 11169  cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Mndcmnd 17117  .gcmg 17363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mulg 17364
This theorem is referenced by:  mulgz  17391  mulgnn0ass  17401  odmodnn0  17782  mulgmhm  18056  srg1expzeq1  18362  lply1binomsc  19498  tsmsxp  21768
  Copyright terms: Public domain W3C validator