Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgpcomppsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgpcomppsc 18357
 Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power and a scalar multiplication is involved. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgpcomp.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m × = (.r𝑅)
srgpcomp.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e = (.g𝐺)
srgpcomp.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a (𝜑𝐴𝑆)
srgpcomp.b (𝜑𝐵𝑆)
srgpcomp.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgpcompp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
srgpcomppsc.t · = (.g𝑅)
srgpcomppsc.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
srgpcomppsc (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) × 𝐴) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵))))

Proof of Theorem srgpcomppsc
StepHypRef Expression
1 srgpcomp.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
2 srgpcomppsc.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
3 srgpcomp.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
43srgmgp 18333 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
51, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
6 srgpcompp.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7 srgpcomp.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
8 srgpcomp.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Base‘𝑅)
93, 8mgpbas 18318 . . . . . . 7 𝑆 = (Base‘𝐺)
10 srgpcomp.e . . . . . . 7 = (.g𝐺)
119, 10mulgnn0cl 17381 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴𝑆) → (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆)
125, 6, 7, 11syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆)
13 srgpcomp.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
14 srgpcomp.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑆)
159, 10mulgnn0cl 17381 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝐵𝑆) → (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)
165, 13, 14, 15syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)
17 srgpcomppsc.t . . . . . . 7 · = (.g𝑅)
18 srgpcomp.m . . . . . . 7 × = (.r𝑅)
198, 17, 18srgmulgass 18354 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)) → ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))))
2019eqcomd 2616 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆)) → (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)))
211, 2, 12, 16, 20syl13anc 1320 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)))
2221oveq1d 6564 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) × 𝐴) = (((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴))
23 srgmnd 18332 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
241, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
258, 17mulgnn0cl 17381 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝐶 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑆)
2624, 2, 12, 25syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑆)
278, 18srgass 18336 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆)) → (((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
281, 26, 16, 7, 27syl13anc 1320 . . 3 (𝜑 → (((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
2922, 28eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
308, 18srgcl 18335 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆) → ((𝐾 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)
311, 16, 7, 30syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)
328, 17, 18srgmulgass 18354 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐾 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)) → ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴))))
331, 2, 12, 31, 32syl13anc 1320 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴))))
348, 18srgass 18336 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆)) → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
351, 12, 16, 7, 34syl13anc 1320 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)))
3635eqcomd 2616 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴))
3736oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · ((𝑁 𝐴) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴))) = (𝐶 · (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴)))
3833, 37eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · (𝑁 𝐴)) × ((𝐾 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴)))
39 srgpcomp.c . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
408, 18, 3, 10, 1, 7, 14, 13, 39, 6srgpcompp 18356 . . 3 (𝜑 → (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵)))
4140oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → (𝐶 · (((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵)) × 𝐴)) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵))))
4229, 38, 413eqtrd 2648 1 (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 𝐴) × (𝐾 𝐵))) × 𝐴) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) 𝐴) × (𝐾 𝐵))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  Mndcmnd 17117  .gcmg 17363  mulGrpcmgp 18312  SRingcsrg 18328 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mulg 17364  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-srg 18329 This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  18365
 Copyright terms: Public domain W3C validator