MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsmmulgdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsmmulgdi 18721
Description: Distributive law for a group multiple of a scalar multiplication. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmmulgdi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsmmulgdi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsmmulgdi.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsmmulgdi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsmmulgdi.p = (.g𝑊)
lmodvsmmulgdi.e 𝐸 = (.g𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvsmmulgdi ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉)) → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsmmulgdi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = (0 (𝐶 · 𝑋)))
2 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝐶) = (0𝐸𝐶))
32oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) = ((0𝐸𝐶) · 𝑋))
41, 3eqeq12d 2625 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) ↔ (0 (𝐶 · 𝑋)) = ((0𝐸𝐶) · 𝑋)))
54imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋)) ↔ (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 (𝐶 · 𝑋)) = ((0𝐸𝐶) · 𝑋))))
6 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = (𝑦 (𝐶 · 𝑋)))
7 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝐶) = (𝑦𝐸𝐶))
87oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋))
96, 8eqeq12d 2625 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) ↔ (𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)))
109imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋)) ↔ (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋))))
11 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)))
12 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝐶) = ((𝑦 + 1)𝐸𝐶))
1312oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
1411, 13eqeq12d 2625 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) ↔ ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋)))
1514imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋)) ↔ (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))))
16 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = (𝑁 (𝐶 · 𝑋)))
17 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝐶) = (𝑁𝐸𝐶))
1817oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋))
1916, 18eqeq12d 2625 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) ↔ (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋)))
2019imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋)) ↔ (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋))))
21 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑊 ∈ LMod)
22 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐾𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
2322adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑋𝑉)
24 lmodvsmmulgdi.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
25 lmodvsmmulgdi.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
26 lmodvsmmulgdi.s . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝑊)
27 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (0g𝐹) = (0g𝐹)
28 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2924, 25, 26, 27, 28lmod0vs 18719 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊))
3021, 23, 29syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊))
31 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐾𝑋𝑉) → 𝐶𝐾)
3231adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝐶𝐾)
33 lmodvsmmulgdi.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐹)
34 lmodvsmmulgdi.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (.g𝐹)
3533, 27, 34mulg0 17369 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐾 → (0𝐸𝐶) = (0g𝐹))
3632, 35syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0𝐸𝐶) = (0g𝐹))
3736oveq1d 6564 . . . . . . 7 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0𝐸𝐶) · 𝑋) = ((0g𝐹) · 𝑋))
3824, 25, 26, 33lmodvscl 18703 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶𝐾𝑋𝑉) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉)
3921, 32, 23, 38syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉)
40 lmodvsmmulgdi.p . . . . . . . . 9 = (.g𝑊)
4124, 28, 40mulg0 17369 . . . . . . . 8 ((𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉 → (0 (𝐶 · 𝑋)) = (0g𝑊))
4239, 41syl 17 . . . . . . 7 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 (𝐶 · 𝑋)) = (0g𝑊))
4330, 37, 423eqtr4rd 2655 . . . . . 6 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 (𝐶 · 𝑋)) = ((0𝐸𝐶) · 𝑋))
44 lmodgrp 18693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
45 grpmnd 17252 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Mnd)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Mnd)
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑊 ∈ Mnd)
4847adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ Mnd)
49 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
5039adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉)
51 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑊) = (+g𝑊)
5224, 40, 51mulgnn0p1 17375 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦 (𝐶 · 𝑋))(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
5348, 49, 50, 52syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦 (𝐶 · 𝑋))(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
5453adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦 (𝐶 · 𝑋))(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
55 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋) → ((𝑦 (𝐶 · 𝑋))(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
5621adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ LMod)
5725lmodring 18694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
58 ringmnd 18379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Mnd)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Mnd)
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝐹 ∈ Mnd)
6160adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝐹 ∈ Mnd)
62 simprll 798 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝐶𝐾)
6333, 34mulgnn0cl 17381 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐶𝐾) → (𝑦𝐸𝐶) ∈ 𝐾)
6461, 49, 62, 63syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦𝐸𝐶) ∈ 𝐾)
6523adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑋𝑉)
66 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝐹) = (+g𝐹)
6724, 51, 25, 26, 33, 66lmodvsdir 18710 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝐶) ∈ 𝐾𝐶𝐾𝑋𝑉)) → (((𝑦𝐸𝐶)(+g𝐹)𝐶) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
6856, 64, 62, 65, 67syl13anc 1320 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝐶)(+g𝐹)𝐶) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
6933, 34, 66mulgnn0p1 17375 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐶𝐾) → ((𝑦 + 1)𝐸𝐶) = ((𝑦𝐸𝐶)(+g𝐹)𝐶))
7061, 49, 62, 69syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝐶) = ((𝑦𝐸𝐶)(+g𝐹)𝐶))
7170eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦𝐸𝐶)(+g𝐹)𝐶) = ((𝑦 + 1)𝐸𝐶))
7271oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝐶)(+g𝐹)𝐶) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
7368, 72eqtr3d 2646 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
7455, 73sylan9eqr 2666 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)) → ((𝑦 (𝐶 · 𝑋))(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
7554, 74eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
7675exp31 628 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))))
7776a2d 29 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)) → (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))))
785, 10, 15, 20, 43, 77nn0ind 11348 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋)))
7978exp4c 634 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐶𝐾 → (𝑋𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋)))))
8079com12 32 . . 3 (𝐶𝐾 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋)))))
81803imp 1249 . 2 ((𝐶𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝑊 ∈ LMod → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋)))
8281impcom 445 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉)) → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  0cn0 11169  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  Mndcmnd 17117  Grpcgrp 17245  .gcmg 17363  Ringcrg 18370  LModclmod 18686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-mulg 17364  df-ring 18372  df-lmod 18688
This theorem is referenced by:  chpscmatgsummon  20469
  Copyright terms: Public domain W3C validator