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Theorem lmodvsmmulgdi 17673
Description: Distributive law for a group multiple of a scalar multiplication. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmmulgdi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodvsmmulgdi.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodvsmmulgdi.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodvsmmulgdi.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodvsmmulgdi.p  |-  .^  =  (.g
`  W )
lmodvsmmulgdi.e  |-  E  =  (.g `  F )
Assertion
Ref Expression
lmodvsmmulgdi  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( C  e.  K  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  V ) )  -> 
( N  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( N E C )  .x.  X ) )

Proof of Theorem lmodvsmmulgdi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6303 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( 0  .^  ( C  .x.  X ) ) )
2 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
x E C )  =  ( 0 E C ) )
32oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( x E C )  .x.  X )  =  ( ( 0 E C )  .x.  X ) )
41, 3eqeq12d 2479 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( x E C )  .x.  X )  <->  ( 0 
.^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( 0 E C )  .x.  X
) ) )
54imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod )  ->  (
x  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( x E C )  .x.  X
) )  <->  ( (
( C  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( 0 
.^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( 0 E C )  .x.  X
) ) ) )
6 oveq1 6303 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( y  .^  ( C  .x.  X ) ) )
7 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x E C )  =  ( y E C ) )
87oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x E C )  .x.  X )  =  ( ( y E C )  .x.  X ) )
96, 8eqeq12d 2479 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( x E C )  .x.  X )  <->  ( y  .^  ( C  .x.  X
) )  =  ( ( y E C )  .x.  X ) ) )
109imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod )  ->  (
x  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( x E C )  .x.  X
) )  <->  ( (
( C  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( y  .^  ( C  .x.  X
) )  =  ( ( y E C )  .x.  X ) ) ) )
11 oveq1 6303 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( y  +  1 )  .^  ( C  .x.  X ) ) )
12 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x E C )  =  ( ( y  +  1 ) E C ) )
1312oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( x E C )  .x.  X )  =  ( ( ( y  +  1 ) E C )  .x.  X ) )
1411, 13eqeq12d 2479 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( x  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( x E C )  .x.  X )  <->  ( (
y  +  1 ) 
.^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 ) E C )  .x.  X
) ) )
1514imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod )  ->  (
x  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( x E C )  .x.  X
) )  <->  ( (
( C  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( (
y  +  1 ) 
.^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 ) E C )  .x.  X
) ) ) )
16 oveq1 6303 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
x  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( N  .^  ( C  .x.  X ) ) )
17 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  N  ->  (
x E C )  =  ( N E C ) )
1817oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
( x E C )  .x.  X )  =  ( ( N E C )  .x.  X ) )
1916, 18eqeq12d 2479 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( x E C )  .x.  X )  <->  ( N  .^  ( C  .x.  X
) )  =  ( ( N E C )  .x.  X ) ) )
2019imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod )  ->  (
x  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( x E C )  .x.  X
) )  <->  ( (
( C  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( N  .^  ( C  .x.  X
) )  =  ( ( N E C )  .x.  X ) ) ) )
21 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  W  e.  LMod )
22 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
2322adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  X  e.  V )
24 lmodvsmmulgdi.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
25 lmodvsmmulgdi.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (Scalar `  W )
26 lmodvsmmulgdi.s . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( .s `  W )
27 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
28 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
2924, 25, 26, 27, 28lmod0vs 17671 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( 0g `  F
)  .x.  X )  =  ( 0g `  W ) )
3021, 23, 29syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( ( 0g `  F )  .x.  X )  =  ( 0g `  W ) )
31 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  C  e.  K )
3231adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  C  e.  K )
33 lmodvsmmulgdi.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( Base `  F
)
34 lmodvsmmulgdi.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  (.g `  F )
3533, 27, 34mulg0 16273 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  K  ->  (
0 E C )  =  ( 0g `  F ) )
3632, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( 0 E C )  =  ( 0g `  F
) )
3736oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( (
0 E C ) 
.x.  X )  =  ( ( 0g `  F )  .x.  X
) )
3824, 25, 26, 33lmodvscl 17655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  C  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( C  .x.  X )  e.  V )
3921, 32, 23, 38syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( C  .x.  X )  e.  V
)
40 lmodvsmmulgdi.p . . . . . . . . 9  |-  .^  =  (.g
`  W )
4124, 28, 40mulg0 16273 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  .x.  X )  e.  V  ->  (
0  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( 0g `  W
) )
4239, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( 0 
.^  ( C  .x.  X ) )  =  ( 0g `  W
) )
4330, 37, 423eqtr4rd 2509 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( 0 
.^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( 0 E C )  .x.  X
) )
44 lmodgrp 17645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
45 grpmnd 16188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  Grp  ->  W  e.  Mnd )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Mnd )
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  W  e.  Mnd )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  ->  W  e.  Mnd )
49 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
y  e.  NN0 )
5039adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( C  .x.  X
)  e.  V )
51 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
5224, 40, 51mulgnn0p1 16279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  ( C  .x.  X )  e.  V )  ->  (
( y  +  1 )  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( y  .^  ( C  .x.  X ) ) ( +g  `  W
) ( C  .x.  X ) ) )
5348, 49, 50, 52syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( ( y  +  1 )  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  ( C  .x.  X ) ) ( +g  `  W ) ( C  .x.  X
) ) )
5453adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  /\  ( y  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( y E C )  .x.  X ) )  -> 
( ( y  +  1 )  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( y 
.^  ( C  .x.  X ) ) ( +g  `  W ) ( C  .x.  X
) ) )
55 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( y E C )  .x.  X
)  ->  ( (
y  .^  ( C  .x.  X ) ) ( +g  `  W ) ( C  .x.  X
) )  =  ( ( ( y E C )  .x.  X
) ( +g  `  W
) ( C  .x.  X ) ) )
5621adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  ->  W  e.  LMod )
5725lmodring 17646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
58 ringmnd 17333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Mnd )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Mnd )
6059adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  F  e.  Mnd )
6160adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  ->  F  e.  Mnd )
62 simprll 763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  ->  C  e.  K )
6333, 34mulgnn0cl 16284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  C  e.  K )  ->  (
y E C )  e.  K )
6461, 49, 62, 63syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( y E C )  e.  K )
6523adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  ->  X  e.  V )
66 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
6724, 51, 25, 26, 33, 66lmodvsdir 17662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( y E C )  e.  K  /\  C  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
( y E C ) ( +g  `  F
) C )  .x.  X )  =  ( ( ( y E C )  .x.  X
) ( +g  `  W
) ( C  .x.  X ) ) )
6856, 64, 62, 65, 67syl13anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( ( ( y E C ) ( +g  `  F ) C )  .x.  X
)  =  ( ( ( y E C )  .x.  X ) ( +g  `  W
) ( C  .x.  X ) ) )
6933, 34, 66mulgnn0p1 16279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  C  e.  K )  ->  (
( y  +  1 ) E C )  =  ( ( y E C ) ( +g  `  F ) C ) )
7061, 49, 62, 69syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( ( y  +  1 ) E C )  =  ( ( y E C ) ( +g  `  F
) C ) )
7170eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( ( y E C ) ( +g  `  F ) C )  =  ( ( y  +  1 ) E C ) )
7271oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( ( ( y E C ) ( +g  `  F ) C )  .x.  X
)  =  ( ( ( y  +  1 ) E C ) 
.x.  X ) )
7368, 72eqtr3d 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  -> 
( ( ( y E C )  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( C 
.x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 ) E C )  .x.  X ) )
7455, 73sylan9eqr 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  /\  ( y  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( y E C )  .x.  X ) )  -> 
( ( y  .^  ( C  .x.  X ) ) ( +g  `  W
) ( C  .x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 ) E C )  .x.  X
) )
7554, 74eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod ) )  /\  ( y  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( y E C )  .x.  X ) )  -> 
( ( y  +  1 )  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 ) E C )  .x.  X ) )
7675exp31 604 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( (
y  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( y E C )  .x.  X
)  ->  ( (
y  +  1 ) 
.^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 ) E C )  .x.  X
) ) ) )
7776a2d 26 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod )  ->  (
y  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( y E C )  .x.  X
) )  ->  (
( ( C  e.  K  /\  X  e.  V )  /\  W  e.  LMod )  ->  (
( y  +  1 )  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( ( y  +  1 ) E C )  .x.  X
) ) ) )
785, 10, 15, 20, 43, 77nn0ind 10980 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( C  e.  K  /\  X  e.  V
)  /\  W  e.  LMod )  ->  ( N  .^  ( C  .x.  X
) )  =  ( ( N E C )  .x.  X ) ) )
7978exp4c 608 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( C  e.  K  ->  ( X  e.  V  ->  ( W  e.  LMod  ->  ( N  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( N E C )  .x.  X
) ) ) ) )
8079com12 31 . . 3  |-  ( C  e.  K  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( X  e.  V  ->  ( W  e.  LMod  ->  ( N  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( N E C )  .x.  X
) ) ) ) )
81803imp 1190 . 2  |-  ( ( C  e.  K  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  V )  ->  ( W  e.  LMod  ->  ( N  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( N E C )  .x.  X
) ) )
8281impcom 430 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( C  e.  K  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  V ) )  -> 
( N  .^  ( C  .x.  X ) )  =  ( ( N E C )  .x.  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512   NN0cn0 10816   Basecbs 14643   +g cplusg 14711  Scalarcsca 14714   .scvsca 14715   0gc0g 14856   Mndcmnd 16045   Grpcgrp 16179  .gcmg 16182   Ringcrg 17324   LModclmod 17638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-seq 12110  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-mulg 16186  df-ring 17326  df-lmod 17640
This theorem is referenced by:  chpscmatgsummon  19472
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