MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem4 24874
Description: Lemma for lgsqr 24876. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s 𝑆 = (Poly1𝑌)
lgsqr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d 𝐷 = ( deg1𝑌)
lgsqr.o 𝑂 = (eval1𝑌)
lgsqr.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x 𝑋 = (var1𝑌)
lgsqr.m = (-g𝑆)
lgsqr.u 1 = (1r𝑆)
lgsqr.t 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
lgsqr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
lgsqr.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
lgsqr.4 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑦,𝑂   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑇   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥)   1 (𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦)   𝐺(𝑦)   (𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem4
StepHypRef Expression
1 lgsqr.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
2 lgsqr.s . . . . . . 7 𝑆 = (Poly1𝑌)
3 lgsqr.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑆)
4 lgsqr.d . . . . . . 7 𝐷 = ( deg1𝑌)
5 lgsqr.o . . . . . . 7 𝑂 = (eval1𝑌)
6 lgsqr.e . . . . . . 7 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
7 lgsqr.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝑌)
8 lgsqr.m . . . . . . 7 = (-g𝑆)
9 lgsqr.u . . . . . . 7 1 = (1r𝑆)
10 lgsqr.t . . . . . . 7 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
11 lgsqr.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
12 lgsqr.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
13 lgsqr.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lgsqrlem2 24872 . . . . . 6 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
15 fvex 6113 . . . . . . . . . . . 12 (𝑂𝑇) ∈ V
1615cnvex 7006 . . . . . . . . . . 11 (𝑂𝑇) ∈ V
1716imaex 6996 . . . . . . . . . 10 ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ V
1817f1dom 7863 . . . . . . . . 9 (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
1914, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
20 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑌) = (0g𝑌)
21 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑆) = (0g𝑆)
2212eldifad 3552 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
231znfld 19728 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ Field)
25 fldidom 19126 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ IDomn)
27 isidom 19125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
2827simplbi 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
30 crngring 18381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
322ply1ring 19439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
34 ringgrp 18375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
36 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3736ringmgp 18376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
3833, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
39 oddprm 15353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4012, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4140nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
427, 2, 3vr1cl 19408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
4331, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋𝐵)
4436, 3mgpbas 18318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
4544, 6mulgnn0cl 17381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
4638, 41, 43, 45syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
473, 9ringidcl 18391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ Ring → 1𝐵)
4833, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑1𝐵)
493, 8grpsubcl 17318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵1𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
5035, 46, 48, 49syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
5110, 50syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇𝐵)
5210fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷𝑇) = (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ))
5340nngt0d 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < ((𝑃 − 1) / 2))
54 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
55 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1r𝑌) = (1r𝑌)
562, 54, 55, 9ply1scl1 19483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 ∈ Ring → ((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) = 1 )
5731, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) = 1 )
5857fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌))) = (𝐷1 ))
59 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
6059, 55ringidcl 18391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 ∈ Ring → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
6131, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
62 domnnzr 19116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ NzRing)
6327, 62simplbiim 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ NzRing)
6426, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ NzRing)
6555, 20nzrnz 19081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 ∈ NzRing → (1r𝑌) ≠ (0g𝑌))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1r𝑌) ≠ (0g𝑌))
674, 2, 59, 54, 20deg1scl 23677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (1r𝑌) ≠ (0g𝑌)) → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌))) = 0)
6831, 61, 66, 67syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌))) = 0)
6958, 68eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐷1 ) = 0)
704, 2, 7, 36, 6deg1pw 23684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑌 ∈ NzRing ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
7164, 41, 70syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
7253, 69, 713brtr4d 4615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷1 ) < (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)))
732, 4, 31, 3, 8, 46, 48, 72deg1sub 23672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)))
7452, 73syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝑇) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)))
7574, 71eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷𝑇) = ((𝑃 − 1) / 2))
7675, 41eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷𝑇) ∈ ℕ0)
774, 2, 21, 3deg1nn0clb 23654 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑇𝐵) → (𝑇 ≠ (0g𝑆) ↔ (𝐷𝑇) ∈ ℕ0))
7831, 51, 77syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑇 ≠ (0g𝑆) ↔ (𝐷𝑇) ∈ ℕ0))
7976, 78mpbird 246 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ≠ (0g𝑆))
802, 3, 4, 5, 20, 21, 26, 51, 79fta1g 23731 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (𝐷𝑇))
8180, 75breqtrd 4609 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
82 hashfz1 12996 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (#‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
8341, 82syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
8481, 83breqtrrd 4611 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (#‘(1...((𝑃 − 1) / 2))))
85 hashbnd 12985 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ V ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ (#‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) → ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin)
8617, 41, 81, 85mp3an2i 1421 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin)
87 fzfid 12634 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
88 hashdom 13029 . . . . . . . . . 10 ((((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin ∧ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin) → ((#‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (#‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
8986, 87, 88syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((#‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (#‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
9084, 89mpbid 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
91 sbth 7965 . . . . . . . 8 (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∧ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
9219, 90, 91syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
93 f1finf1o 8072 . . . . . . 7 (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∧ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin) → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})))
9492, 86, 93syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})))
9514, 94mpbid 221 . . . . 5 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
96 f1ocnv 6062 . . . . 5 (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) → 𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)))
97 f1of 6050 . . . . 5 (𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
9895, 96, 973syl 18 . . . 4 (𝜑𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
99 lgsqr.3 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
100 lgsqr.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
1011, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 99, 100lgsqrlem3 24873 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
10298, 101ffvelrnd 6268 . . 3 (𝜑 → (𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
103 elfzelz 12213 . . 3 ((𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ ℤ)
104102, 103syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ ℤ)
105 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → (𝑥↑2) = ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2))
106105fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → (𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)))
107 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦↑2) = (𝑥↑2))
108107fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
109108cbvmptv 4678 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
11013, 109eqtri 2632 . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
111 fvex 6113 . . . . . 6 (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) ∈ V
112106, 110, 111fvmpt 6191 . . . . 5 ((𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)))
113102, 112syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)))
114 f1ocnvfv2 6433 . . . . 5 ((𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∧ (𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿𝐴))
11595, 101, 114syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿𝐴))
116113, 115eqtr3d 2646 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) = (𝐿𝐴))
117 prmnn 15226 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
11822, 117syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
119118nnnn0d 11228 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
120 zsqcl 12796 . . . . 5 ((𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ ℤ → ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) ∈ ℤ)
121104, 120syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) ∈ ℤ)
1221, 11zndvds 19717 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) = (𝐿𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)))
123119, 121, 99, 122syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → ((𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) = (𝐿𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)))
124116, 123mpbid 221 . 2 (𝜑𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴))
125105oveq1d 6564 . . . 4 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → ((𝑥↑2) − 𝐴) = (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴))
126125breq2d 4595 . . 3 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)))
127126rspcev 3282 . 2 (((𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
128104, 124, 127syl2anc 691 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  Vcvv 3173  cdif 3537  {csn 4125   class class class wbr 4583  cmpt 4643  ccnv 5037  cima 5041  wf 5800  1-1wf1 5801  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  cen 7838  cdom 7839  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  ...cfz 12197  cexp 12722  #chash 12979  cdvds 14821  cprime 15223  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Mndcmnd 17117  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  .gcmg 17363  mulGrpcmgp 18312  1rcur 18324  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  Fieldcfield 18571  NzRingcnzr 19078  Domncdomn 19101  IDomncidom 19102  algSccascl 19132  var1cv1 19367  Poly1cpl1 19368  eval1ce1 19500  ℤRHomczrh 19667  ℤ/nczn 19670   deg1 cdg1 23618   /L clgs 24819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-phi 15309  df-pc 15380  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-imas 15991  df-qus 15992  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-srg 18329  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-field 18573  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-nzr 19079  df-rlreg 19104  df-domn 19105  df-idom 19106  df-assa 19133  df-asp 19134  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-evls 19327  df-evl 19328  df-psr1 19371  df-vr1 19372  df-ply1 19373  df-coe1 19374  df-evl1 19502  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zn 19674  df-mdeg 23619  df-deg1 23620  df-mon1 23694  df-uc1p 23695  df-q1p 23696  df-r1p 23697  df-lgs 24820
This theorem is referenced by:  lgsqrlem5  24875
  Copyright terms: Public domain W3C validator