Theorem grpsubcl 17318

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 17317	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovrn 6702	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1351	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Grpcgrp 17245  -_gcsg 17247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250

This theorem is referenced by:  grpsubsub  17327  grpsubsub4  17331  grpnpncan  17333  grpnnncan2  17335  dfgrp3  17337  nsgconj  17450  nsgacs  17453  nsgid  17463  ghmnsgpreima  17508  ghmeqker  17510  ghmf1  17512  conjghm  17514  conjnmz  17517  conjnmzb  17518  sylow3lem2  17866  abladdsub4  18042  abladdsub  18043  ablpncan3  18045  ablsubsub4  18047  ablpnpcan  18048  ablnnncan  18051  ablnnncan1  18052  telgsumfzslem  18208  telgsumfzs  18209  telgsums  18213  lmodvsubcl  18731  lvecvscan2  18933  coe1subfv  19457  evl1subd  19527  ipsubdir  19806  ipsubdi  19807  ip2subdi  19808  dmatsubcl  20123  scmatsubcl  20142  mdetunilem9  20245  mdetuni0  20246  chmatcl  20452  chpmat1d  20460  chpdmatlem1  20462  chpscmat  20466  chpidmat  20471  chfacfisf  20478  cpmadugsumlemF  20500  cpmidgsum2  20503  tgpconcomp  21726  ghmcnp  21728  nrmmetd  22189  ngpds2  22220  ngpds3  22222  isngp4  22226  nmsub  22237  nm2dif  22239  nmtri2  22241  subgngp  22249  ngptgp  22250  nrgdsdi  22279  nrgdsdir  22280  nlmdsdi  22295  nlmdsdir  22296  nrginvrcnlem  22305  nmods  22358  tchcphlem1  22842  tchcph  22844  cphipval2  22848  4cphipval2  22849  cphipval  22850  ipcnlem2  22851  deg1sublt  23674  ply1divmo  23699  ply1divex  23700  r1pcl  23721  r1pid  23723  ply1remlem  23726  ig1peu  23735  dchr2sum  24798  lgsqrlem2  24872  lgsqrlem3  24873  lgsqrlem4  24874  ttgcontlem1  25565  ogrpsublt  29053  archiabllem1a  29076  archiabllem2a  29079  archiabllem2c  29080  ornglmulle  29136  orngrmulle  29137  lclkrlem2m  35826  idomrootle  36792  lidldomn1  41711  linply1  41975