MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubcl Structured version   Unicode version

Theorem grpsubcl 15599
Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  B )

Proof of Theorem grpsubcl
StepHypRef Expression
1 grpsubcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpsubcl.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
31, 2grpsubf 15598 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( B  X.  B
) --> B )
4 fovrn 6232 . 2  |-  ( ( 
.-  : ( B  X.  B ) --> B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( X  .-  Y )  e.  B
)
53, 4syl3an1 1246 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    X. cxp 4834   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   Grpcgrp 15406   -gcsg 15409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540
This theorem is referenced by:  grpsubsub  15607  grpsubsub4  15611  grpnpncan  15613  grpnnncan2  15614  nsgconj  15707  nsgacs  15710  nsgid  15720  ghmnsgpreima  15764  ghmeqker  15766  ghmf1  15768  conjghm  15770  conjnmz  15773  conjnmzb  15774  sylow3lem2  16120  abladdsub4  16296  abladdsub  16297  ablpncan3  16299  ablsubsub4  16301  ablpnpcan  16302  ablnnncan1  16305  lmodvsubcl  16970  lvecvscan2  17171  coe1subfv  17695  evl1subd  17745  ipsubdir  18030  ipsubdi  18031  ip2subdi  18032  mdetunilem9  18385  mdetuni0  18386  tgpconcomp  19642  ghmcnp  19644  nrmmetd  20126  ngpds2  20156  ngpds3  20158  isngp4  20162  nmsub  20173  nm2dif  20175  subgngp  20180  ngptgp  20181  nrgdsdi  20205  nrgdsdir  20206  nlmdsdi  20221  nlmdsdir  20222  nrginvrcnlem  20230  nmods  20282  tchcphlem1  20709  tchcph  20711  ipcnlem2  20715  deg1sublt  21541  ply1divmo  21566  ply1divex  21567  r1pcl  21588  r1pid  21590  ply1remlem  21593  ig1peu  21602  dchr2sum  22571  lgsqrlem2  22640  lgsqrlem3  22641  lgsqrlem4  22642  ttgcontlem1  23066  ogrpsublt  26118  archiabllem1a  26141  archiabllem2a  26144  archiabllem2c  26145  ornglmulle  26208  orngrmulle  26209  idomrootle  29485  linply1  30738  dmatsubcl  30760  scmatsubcl  30767  lclkrlem2m  34886
  Copyright terms: Public domain W3C validator