MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubcl Structured version   Unicode version

Theorem grpsubcl 16678
Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  B )

Proof of Theorem grpsubcl
StepHypRef Expression
1 grpsubcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpsubcl.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
31, 2grpsubf 16677 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( B  X.  B
) --> B )
4 fovrn 6444 . 2  |-  ( ( 
.-  : ( B  X.  B ) --> B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( X  .-  Y )  e.  B
)
53, 4syl3an1 1297 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    X. cxp 4843   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Basecbs 15073   Grpcgrp 16613   -gcsg 16615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-0g 15292  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-grp 16617  df-minusg 16618  df-sbg 16619
This theorem is referenced by:  grpsubsub  16687  grpsubsub4  16691  grpnpncan  16693  grpnnncan2  16695  nsgconj  16794  nsgacs  16797  nsgid  16807  ghmnsgpreima  16851  ghmeqker  16853  ghmf1  16855  conjghm  16857  conjnmz  16860  conjnmzb  16861  sylow3lem2  17208  abladdsub4  17384  abladdsub  17385  ablpncan3  17387  ablsubsub4  17389  ablpnpcan  17390  ablnnncan1  17393  telgsumfzslem  17546  telgsumfzs  17547  telgsums  17551  lmodvsubcl  18061  lvecvscan2  18263  coe1subfv  18787  evl1subd  18858  ipsubdir  19133  ipsubdi  19134  ip2subdi  19135  dmatsubcl  19447  scmatsubcl  19466  mdetunilem9  19569  mdetuni0  19570  chmatcl  19776  chpmat1d  19784  chpdmatlem1  19786  chpscmat  19790  chpidmat  19795  chfacfisf  19802  cpmadugsumlemF  19824  cpmidgsum2  19827  tgpconcomp  21051  ghmcnp  21053  nrmmetd  21513  ngpds2  21543  ngpds3  21545  isngp4  21549  nmsub  21560  nm2dif  21562  subgngp  21567  ngptgp  21568  nrgdsdi  21592  nrgdsdir  21593  nlmdsdi  21608  nlmdsdir  21609  nrginvrcnlem  21617  nmods  21669  tchcphlem1  22095  tchcph  22097  ipcnlem2  22101  deg1sublt  22933  ply1divmo  22958  ply1divex  22959  r1pcl  22980  r1pid  22982  ply1remlem  22985  ig1peu  22994  dchr2sum  24061  lgsqrlem2  24130  lgsqrlem3  24131  lgsqrlem4  24132  ttgcontlem1  24758  ogrpsublt  28320  archiabllem1a  28343  archiabllem2a  28346  archiabllem2c  28347  ornglmulle  28404  orngrmulle  28405  lclkrlem2m  34796  idomrootle  35772  lidldomn1  38692  linply1  38958
  Copyright terms: Public domain W3C validator