MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubcl Structured version   Unicode version

Theorem grpsubcl 15928
Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  B )

Proof of Theorem grpsubcl
StepHypRef Expression
1 grpsubcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpsubcl.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
31, 2grpsubf 15927 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( B  X.  B
) --> B )
4 fovrn 6429 . 2  |-  ( ( 
.-  : ( B  X.  B ) --> B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( X  .-  Y )  e.  B
)
53, 4syl3an1 1261 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    X. cxp 4997   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   Grpcgrp 15727   -gcsg 15730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869
This theorem is referenced by:  grpsubsub  15937  grpsubsub4  15941  grpnpncan  15943  grpnnncan2  15945  nsgconj  16039  nsgacs  16042  nsgid  16052  ghmnsgpreima  16096  ghmeqker  16098  ghmf1  16100  conjghm  16102  conjnmz  16105  conjnmzb  16106  sylow3lem2  16454  abladdsub4  16630  abladdsub  16631  ablpncan3  16633  ablsubsub4  16635  ablpnpcan  16636  ablnnncan1  16639  telgsumfzslem  16820  telgsumfzs  16821  telgsums  16825  lmodvsubcl  17355  lvecvscan2  17558  coe1subfv  18106  evl1subd  18177  ipsubdir  18472  ipsubdi  18473  ip2subdi  18474  dmatsubcl  18795  scmatsubcl  18814  mdetunilem9  18917  mdetuni0  18918  chmatcl  19124  chpmat1d  19132  chpdmatlem1  19134  chpscmat  19138  chpidmat  19143  chfacfisf  19150  cpmadugsumlemF  19172  cpmidgsum2  19175  tgpconcomp  20374  ghmcnp  20376  nrmmetd  20858  ngpds2  20888  ngpds3  20890  isngp4  20894  nmsub  20905  nm2dif  20907  subgngp  20912  ngptgp  20913  nrgdsdi  20937  nrgdsdir  20938  nlmdsdi  20953  nlmdsdir  20954  nrginvrcnlem  20962  nmods  21014  tchcphlem1  21441  tchcph  21443  ipcnlem2  21447  deg1sublt  22274  ply1divmo  22299  ply1divex  22300  r1pcl  22321  r1pid  22323  ply1remlem  22326  ig1peu  22335  dchr2sum  23304  lgsqrlem2  23373  lgsqrlem3  23374  lgsqrlem4  23375  ttgcontlem1  23892  ogrpsublt  27402  archiabllem1a  27425  archiabllem2a  27428  archiabllem2c  27429  ornglmulle  27486  orngrmulle  27487  idomrootle  30785  linply1  32092  lclkrlem2m  36334
  Copyright terms: Public domain W3C validator