MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubcl Structured version   Unicode version

Theorem grpsubcl 15625
Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  B )

Proof of Theorem grpsubcl
StepHypRef Expression
1 grpsubcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpsubcl.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
31, 2grpsubf 15624 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( B  X.  B
) --> B )
4 fovrn 6252 . 2  |-  ( ( 
.-  : ( B  X.  B ) --> B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( X  .-  Y )  e.  B
)
53, 4syl3an1 1251 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    X. cxp 4857   -->wf 5433   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   Basecbs 14193   Grpcgrp 15429   -gcsg 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-id 4655  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-0g 14399  df-mnd 15434  df-grp 15564  df-minusg 15565  df-sbg 15566
This theorem is referenced by:  grpsubsub  15633  grpsubsub4  15637  grpnpncan  15639  grpnnncan2  15640  nsgconj  15733  nsgacs  15736  nsgid  15746  ghmnsgpreima  15790  ghmeqker  15792  ghmf1  15794  conjghm  15796  conjnmz  15799  conjnmzb  15800  sylow3lem2  16146  abladdsub4  16322  abladdsub  16323  ablpncan3  16325  ablsubsub4  16327  ablpnpcan  16328  ablnnncan1  16331  lmodvsubcl  17009  lvecvscan2  17212  coe1subfv  17739  evl1subd  17795  ipsubdir  18090  ipsubdi  18091  ip2subdi  18092  mdetunilem9  18445  mdetuni0  18446  tgpconcomp  19702  ghmcnp  19704  nrmmetd  20186  ngpds2  20216  ngpds3  20218  isngp4  20222  nmsub  20233  nm2dif  20235  subgngp  20240  ngptgp  20241  nrgdsdi  20265  nrgdsdir  20266  nlmdsdi  20281  nlmdsdir  20282  nrginvrcnlem  20290  nmods  20342  tchcphlem1  20769  tchcph  20771  ipcnlem2  20775  deg1sublt  21601  ply1divmo  21626  ply1divex  21627  r1pcl  21648  r1pid  21650  ply1remlem  21653  ig1peu  21662  dchr2sum  22631  lgsqrlem2  22700  lgsqrlem3  22701  lgsqrlem4  22702  ttgcontlem1  23150  ogrpsublt  26204  archiabllem1a  26227  archiabllem2a  26230  archiabllem2c  26231  ornglmulle  26292  orngrmulle  26293  idomrootle  29583  telescfzgsumlem  30832  telescfzgsum  30833  telescgsum  30834  linply1  30876  dmatsubcl  30900  scmatsubcl  30907  lclkrlem2m  35187
  Copyright terms: Public domain W3C validator