MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubcl Unicode version

Theorem grpsubcl 14824
Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grpsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
grpsubcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  B )

Proof of Theorem grpsubcl
StepHypRef Expression
1 grpsubcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 grpsubcl.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  G )
31, 2grpsubf 14823 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( B  X.  B
) --> B )
4 fovrn 6175 . 2  |-  ( ( 
.-  : ( B  X.  B ) --> B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  ->  ( X  .-  Y )  e.  B
)
53, 4syl3an1 1217 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    X. cxp 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   Grpcgrp 14640   -gcsg 14643
This theorem is referenced by:  grpsubsub  14832  grpsubsub4  14836  grpnpncan  14838  grpnnncan2  14839  nsgconj  14928  nsgacs  14931  nsgid  14941  ghmnsgpreima  14985  ghmeqker  14987  ghmf1  14989  conjghm  14991  conjnmz  14994  conjnmzb  14995  sylow3lem2  15217  abladdsub4  15393  abladdsub  15394  ablpncan3  15396  ablsubsub4  15398  ablpnpcan  15399  ablnnncan1  15402  lmodvsubcl  15944  lvecvscan2  16139  coe1subfv  16614  ipsubdir  16828  ipsubdi  16829  ip2subdi  16830  tgpconcomp  18095  ghmcnp  18097  nrmmetd  18575  ngpds2  18605  ngpds3  18607  isngp4  18611  nmsub  18622  nm2dif  18624  subgngp  18629  ngptgp  18630  nrgdsdi  18654  nrgdsdir  18655  nlmdsdi  18670  nlmdsdir  18671  nrginvrcnlem  18679  nmods  18731  tchcphlem1  19145  tchcph  19147  ipcnlem2  19151  evl1subd  19908  deg1sublt  19986  ply1divmo  20011  ply1divex  20012  r1pcl  20033  r1pid  20035  ply1remlem  20038  ig1peu  20047  dchr2sum  21010  lgsqrlem2  21079  lgsqrlem3  21080  lgsqrlem4  21081  idomrootle  27379  lclkrlem2m  32002
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769
  Copyright terms: Public domain W3C validator