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Theorem nrmmetd 22189

Description: Show that a group norm generates a metric. Part of Definition 2.2-1 of [Kreyszig] p. 58. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
nrmmetd.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nrmmetd.m	⊢ − = (-_g‘𝐺)
nrmmetd.z	⊢ 0 = (0_g‘𝐺)
nrmmetd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
nrmmetd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
nrmmetd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
nrmmetd.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))

**Assertion**
Ref	Expression
nrmmetd	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦, − 𝑥, 0 ,𝑦 𝑥,𝐹,𝑦 𝜑,𝑥,𝑦 𝑥,𝑋,𝑦 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nrmmetd Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrmmetd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2		nrmmetd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		nrmmetd.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		nrmmetd.m	. . . . 5 ⊢ − = (-_g‘𝐺)
5	3, 4	grpsubf 17317	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
7		fco 5971	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝐹 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
8	1, 6, 7	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
9		opelxpi 5072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
10		fvco3 6185	. . . . . . . 8 ⊢ (( − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)))
11	6, 9, 10	syl2an 493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)))
12		df-ov 6552	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
13		df-ov 6552	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 − 𝑏) = ( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
14	13	fveq2i 6106	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
15	11, 12, 14	3eqtr4g 2669	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
16	15	eqeq1d 2612	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0))
17	3, 4	grpsubcl 17318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋)
18	17	3expb 1258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋)
19	2, 18	sylan 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋)
20		nrmmetd.1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
21	20	ralrimiva 2949	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
22		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑏) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
23	22	eqeq1d 2612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑏) → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0))
24		eqeq1 2614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑏) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑎 − 𝑏) = 0 ))
25	23, 24	bibi12d 334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑏) → (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ↔ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0 ↔ (𝑎 − 𝑏) = 0 )))
26	25	rspccva 3281	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0 ↔ (𝑎 − 𝑏) = 0 ))
27	21, 26	sylan 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0 ↔ (𝑎 − 𝑏) = 0 ))
28	19, 27	syldan 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0 ↔ (𝑎 − 𝑏) = 0 ))
29		nrmmetd.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0_g‘𝐺)
30	3, 29, 4	grpsubeq0 17324	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ((𝑎 − 𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
31	30	3expb 1258	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝑎 − 𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
32	2, 31	sylan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝑎 − 𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
33	16, 28, 32	3bitrd 293	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
34	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
35	19	adantrr 749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋)
36	34, 35	ffvelrnd 6268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ∈ ℝ)
37	2	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
38		simprll 798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝑎 ∈ 𝑋)
39		simprr 792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝑐 ∈ 𝑋)
40	3, 4	grpsubcl 17318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝑎 − 𝑐) ∈ 𝑋)
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑎 − 𝑐) ∈ 𝑋)
42	34, 41	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ∈ ℝ)
43		simprlr 799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝑋)
44	3, 4	grpsubcl 17318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝑏 − 𝑐) ∈ 𝑋)
45	37, 43, 39, 44	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑏 − 𝑐) ∈ 𝑋)
46	34, 45	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ∈ ℝ)
47	42, 46	readdcld 9948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))) ∈ ℝ)
48	3, 4	grpsubcl 17318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → (𝑐 − 𝑎) ∈ 𝑋)
49	37, 39, 38, 48	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐 − 𝑎) ∈ 𝑋)
50	34, 49	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) ∈ ℝ)
51	3, 4	grpsubcl 17318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑐 − 𝑏) ∈ 𝑋)
52	37, 39, 43, 51	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐 − 𝑏) ∈ 𝑋)
53	34, 52	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)) ∈ ℝ)
54	50, 53	readdcld 9948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) + (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))) ∈ ℝ)
55	3, 4	grpnnncan2 17335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐)) = (𝑎 − 𝑏))
56	37, 38, 43, 39, 55	syl13anc 1320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐)) = (𝑎 − 𝑏))
57	56	fveq2d 6107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
58		nrmmetd.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
59	58	ralrimivva 2954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
61		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑐) → (𝑥 − 𝑦) = ((𝑎 − 𝑐) − 𝑦))
62	61	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑐) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − 𝑦)))
63		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑐) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)))
64	63	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑐) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘𝑦)))
65	62, 64	breq12d 4596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑐) → ((𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘𝑦))))
66		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → ((𝑎 − 𝑐) − 𝑦) = ((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐)))
67	66	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − 𝑦)) = (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))))
68		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)))
69	68	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))))
70	67, 69	breq12d 4596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → ((𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)))))
71	65, 70	rspc2va 3294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 − 𝑐) ∈ 𝑋 ∧ (𝑏 − 𝑐) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦))) → (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))))
72	41, 45, 60, 71	syl21anc 1317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))))
73	57, 72	eqbrtrrd 4607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))))
74		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 ∈ 𝑋 ↔ 𝑐 ∈ 𝑋))
75	74	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ↔ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)))
76	75	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋))))
77		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑎 − 𝑏) = (𝑎 − 𝑐))
78	77	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)))
79		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 − 𝑎) = (𝑐 − 𝑎))
80	79	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)) = (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))
81	78, 80	breq12d 4596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)) ↔ (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎))))
82	76, 81	imbi12d 333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))))
83	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
84	3, 29	grpidcl 17273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑋)
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 0 ∈ 𝑋)
86		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝑋)
87		simprl 790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝑎 ∈ 𝑋)
88	3, 4	grpsubcl 17318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝑋)
89	83, 86, 87, 88	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝑋)
90	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
91		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 − 𝑦) = ( 0 − 𝑦))
92	91	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝐹‘( 0 − 𝑦)))
93		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘ 0 ))
94	93	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘𝑦)))
95	92, 94	breq12d 4596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘( 0 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘𝑦))))
96		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → ( 0 − 𝑦) = ( 0 − (𝑏 − 𝑎)))
97	96	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → (𝐹‘( 0 − 𝑦)) = (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))))
98		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))
99	98	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))))
100	97, 99	breq12d 4596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → ((𝐹‘( 0 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))))
101	95, 100	rspc2va 3294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((( 0 ∈ 𝑋 ∧ (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦))) → (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))))
102	85, 89, 90, 101	syl21anc 1317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))))
103		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (inv_g‘𝐺) = (inv_g‘𝐺)
104	3, 4, 103, 29	grpinvval2 17321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝑋) → ((inv_g‘𝐺)‘(𝑏 − 𝑎)) = ( 0 − (𝑏 − 𝑎)))
105	83, 89, 104	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((inv_g‘𝐺)‘(𝑏 − 𝑎)) = ( 0 − (𝑏 − 𝑎)))
106	3, 4, 103	grpinvsub 17320	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → ((inv_g‘𝐺)‘(𝑏 − 𝑎)) = (𝑎 − 𝑏))
107	83, 86, 87, 106	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((inv_g‘𝐺)‘(𝑏 − 𝑎)) = (𝑎 − 𝑏))
108	105, 107	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ( 0 − (𝑏 − 𝑎)) = (𝑎 − 𝑏))
109	108	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
110	2, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑋)
111		pm5.501 355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝑥 = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0)))
112		bicom 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0) ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
113	111, 112	syl6bb 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 )))
114	93	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘ 0 ) = 0))
115	113, 114	bitr3d 269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ↔ (𝐹‘ 0 ) = 0))
116	115	rspccva 3281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ 0 ∈ 𝑋) → (𝐹‘ 0 ) = 0)
117	21, 110, 116	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 0)
118	117	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘ 0 ) = 0)
119	118	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))) = (0 + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))))
120	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
121	120, 89	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)) ∈ ℝ)
122	121	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)) ∈ ℂ)
123	122	addid2d 10116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (0 + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))
124	119, 123	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))
125	102, 109, 124	3brtr3d 4614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))
126	82, 125	chvarv 2251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))
127	126	adantrlr 755	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))
128		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ∈ 𝑋 ↔ 𝑏 ∈ 𝑋))
129	128	anbi1d 737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) ↔ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)))
130	129	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋))))
131		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 − 𝑐) = (𝑏 − 𝑐))
132	131	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)))
133		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑐 − 𝑎) = (𝑐 − 𝑏))
134	133	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) = (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))
135	132, 134	breq12d 4596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) ↔ (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))))
136	130, 135	imbi12d 333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))))
137	136, 126	chvarv 2251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))
138	137	adantrll 754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))
139	42, 46, 50, 53, 127, 138	le2addd 10525	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))) ≤ ((𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) + (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))))
140	36, 47, 54, 73, 139	letrd 10073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ ((𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) + (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))))
141	15	adantrr 749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
142	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
143		opelxpi 5072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → ⟨𝑐, 𝑎⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
144	39, 38, 143	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ⟨𝑐, 𝑎⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
145		fvco3 6185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑐, 𝑎⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑎⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑎⟩)))
146	142, 144, 145	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑎⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑎⟩)))
147		df-ov 6552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) = ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑎⟩)
148		df-ov 6552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 − 𝑎) = ( − ‘⟨𝑐, 𝑎⟩)
149	148	fveq2i 6106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑎⟩))
150	146, 147, 149	3eqtr4g 2669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) = (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))
151		opelxpi 5072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ⟨𝑐, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
152	39, 43, 151	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ⟨𝑐, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
153		fvco3 6185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑏⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑏⟩)))
154	142, 152, 153	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑏⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑏⟩)))
155		df-ov 6552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏) = ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑏⟩)
156		df-ov 6552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 − 𝑏) = ( − ‘⟨𝑐, 𝑏⟩)
157	156	fveq2i 6106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑏⟩))
158	154, 155, 157	3eqtr4g 2669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏) = (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))
159	150, 158	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏)) = ((𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) + (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))))
160	140, 141, 159	3brtr4d 4615	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏)))
161	160	expr 641	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ∈ 𝑋 → (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏))))
162	161	ralrimiv 2948	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏)))
163	33, 162	jca 553	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏))))
164	163	ralrimivva 2954	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏))))
165		fvex 6113	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
166	3, 165	eqeltri 2684	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
167		ismet 21938	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏))))))
168	166, 167	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏)))))
169	8, 164, 168	sylanbrc 695	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ∀wral 2896 Vcvv 3173 ⟨cop 4131 class class class wbr 4583 × cxp 5036 ∘ ccom 5042 ⟶wf 5800 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℝcr 9814 0cc0 9815 + caddc 9818 ≤ cle 9954 Basecbs 15695 0_gc0g 15923 Grpcgrp 17245 inv_gcminusg 17246 -_gcsg 17247 Metcme 19553

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-op 4132 df-uni 4373 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-er 7629 df-map 7746 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-0g 15925 df-mgm 17065 df-sgrp 17107 df-mnd 17118 df-grp 17248 df-minusg 17249 df-sbg 17250 df-met 19561

This theorem is referenced by: abvmet 22190 tngngpd 22267

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