Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngngpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngngpd 22267
 Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngngp.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngp.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngngp.m = (-g𝐺)
tngngp.z 0 = (0g𝐺)
tngngpd.1 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
tngngpd.2 (𝜑𝑁:𝑋⟶ℝ)
tngngpd.3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
tngngpd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))
Assertion
Ref Expression
tngngpd (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem tngngpd
StepHypRef Expression
1 tngngpd.1 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 tngngpd.2 . . . 4 (𝜑𝑁:𝑋⟶ℝ)
3 tngngp.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 fvex 6113 . . . . . 6 (Base‘𝐺) ∈ V
53, 4eqeltri 2684 . . . . 5 𝑋 ∈ V
6 reex 9906 . . . . 5 ℝ ∈ V
7 fex2 7014 . . . . 5 ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
85, 6, 7mp3an23 1408 . . . 4 (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝑁 ∈ V)
9 tngngp.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
10 tngngp.m . . . . 5 = (-g𝐺)
119, 10tngds 22262 . . . 4 (𝑁 ∈ V → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
122, 8, 113syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
13 tngngp.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
14 tngngpd.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
15 tngngpd.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))
163, 10, 13, 1, 2, 14, 15nrmmetd 22189 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ) ∈ (Met‘𝑋))
1712, 16eqeltrrd 2689 . 2 (𝜑 → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))
18 eqid 2610 . . . 4 (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
199, 3, 18tngngp2 22266 . . 3 (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))))
202, 19syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘𝑋))))
211, 17, 20mpbir2and 959 1 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   ≤ cle 9954  Basecbs 15695  distcds 15777  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  Metcme 19553  NrmGrpcngp 22192   toNrmGrp ctng 22193 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-ds 15791  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-tng 22199 This theorem is referenced by:  tngngp  22268  tngngp3  22270  tchcph  22844
 Copyright terms: Public domain W3C validator