Theorem fex2 7014

Description: A function with bounded domain and range is a set. This version of fex 6394 is proven without the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fex2	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexg 6858	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
2	1	3adant1 1072	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
3		fssxp 5973	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
4	3	3ad2ant1 1075	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ssexd 4733	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   × cxp 5036  ⟶wf 5800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-dm 5048  df-rn 5049  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808

This theorem is referenced by:  elmapg  7757  f1oen2g  7858  f1dom2g  7859  dom3d  7883  domssex2  8005  domssex  8006  mapxpen  8011  oismo  8328  wdomima2g  8374  ixpiunwdom  8379  dfac8clem  8738  ac5num  8742  acni2  8752  acnlem  8754  dfac4  8828  dfac2a  8835  axdc2lem  9153  axdc4lem  9160  axcclem  9162  ac6num  9184  axdclem2  9225  addex  11706  mulex  11707  seqf1olem2  12703  seqf1o  12704  hasheqf1oiOLD  13003  limsuple  14057  limsuplt  14058  limsupbnd1  14061  caucvgrlem  14251  prdsval  15938  prdsplusg  15941  prdsmulr  15942  prdsvsca  15943  prdsds  15947  prdshom  15950  plusffval  17070  gsumval  17094  frmdplusg  17214  vrmdfval  17216  odinf  17803  efgtf  17958  gsumval3lem1  18129  gsumval3lem2  18130  gsumval3  18131  staffval  18670  scaffval  18704  cnfldcj  19574  cnfldds  19577  xrsadd  19582  xrsmul  19583  xrsds  19608  ipffval  19812  ocvfval  19829  cnpfval  20848  iscnp2  20853  txcn  21239  fmval  21557  fmf  21559  tsmsval  21744  tsmsadd  21760  blfvalps  21998  nmfval  22203  tngnm  22265  tngngp2  22266  tngngpd  22267  tngngp  22268  nmoffn  22325  nmofval  22328  ishtpy  22579  tchex  22824  adjeu  28132  ismeas  29589  isismty  32770  rrnval  32796