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Theorem nrmmetd 20167
Description: Show that a group norm generates a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrmmetd.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
nrmmetd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
nrmmetd.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
nrmmetd.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
nrmmetd.f  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
nrmmetd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
nrmmetd.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
nrmmetd  |-  ( ph  ->  ( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x,  .0. , y    x, F, y    ph, x, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem nrmmetd
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrmmetd.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
2 nrmmetd.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
3 nrmmetd.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 nrmmetd.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
53, 4grpsubf 15605 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( X  X.  X
) --> X )
62, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  .-  : ( X  X.  X ) --> X )
7 fco 5568 . . 3  |-  ( ( F : X --> RR  /\  .-  : ( X  X.  X ) --> X )  ->  ( F  o.  .-  ) : ( X  X.  X ) --> RR )
81, 6, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  .-  ) : ( X  X.  X ) --> RR )
9 opelxpi 4871 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  -> 
<. a ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
10 fvco3 5768 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.-  : ( X  X.  X ) --> X  /\  <. a ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  .-  ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  (  .-  `  <. a ,  b >. )
) )
116, 9, 10syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  .-  ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  (  .-  `  <. a ,  b >. )
) )
12 df-ov 6094 . . . . . . 7  |-  ( a ( F  o.  .-  ) b )  =  ( ( F  o.  .-  ) `  <. a ,  b >. )
13 df-ov 6094 . . . . . . . 8  |-  ( a 
.-  b )  =  (  .-  `  <. a ,  b >. )
1413fveq2i 5694 . . . . . . 7  |-  ( F `
 ( a  .-  b ) )  =  ( F `  (  .-  `  <. a ,  b
>. ) )
1511, 12, 143eqtr4g 2500 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  .-  ) b
)  =  ( F `
 ( a  .-  b ) ) )
1615eqeq1d 2451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  .-  )
b )  =  0  <-> 
( F `  (
a  .-  b )
)  =  0 ) )
173, 4grpsubcl 15606 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( a  .-  b
)  e.  X )
18173expb 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
a  .-  b )  e.  X )
192, 18sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a  .-  b
)  e.  X )
20 nrmmetd.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
2120ralrimiva 2799 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )
)
22 fveq2 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( a  .-  b )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( a  .-  b
) ) )
2322eqeq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( a  .-  b )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  ( F `  ( a  .-  b ) )  =  0 ) )
24 eqeq1 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( a  .-  b )  ->  (
x  =  .0.  <->  ( a  .-  b )  =  .0.  ) )
2523, 24bibi12d 321 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( a  .-  b )  ->  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  <->  ( ( F `  (
a  .-  b )
)  =  0  <->  (
a  .-  b )  =  .0.  ) ) )
2625rspccva 3072 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  ( a  .-  b
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 ( a  .-  b ) )  =  0  <->  ( a  .-  b )  =  .0.  ) )
2721, 26sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  .-  b )  e.  X
)  ->  ( ( F `  ( a  .-  b ) )  =  0  <->  ( a  .-  b )  =  .0.  ) )
2819, 27syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( a  .-  b
) )  =  0  <-> 
( a  .-  b
)  =  .0.  )
)
29 nrmmetd.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
303, 29, 4grpsubeq0 15612 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( ( a  .-  b )  =  .0.  <->  a  =  b ) )
31303expb 1188 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( a  .-  b
)  =  .0.  <->  a  =  b ) )
322, 31sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a  .-  b )  =  .0.  <->  a  =  b ) )
3316, 28, 323bitrd 279 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  .-  )
b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
341adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  F : X --> RR )
3519adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
a  .-  b )  e.  X )
3634, 35ffvelrnd 5844 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  b ) )  e.  RR )
372adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  G  e.  Grp )
38 simprll 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  a  e.  X )
39 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  c  e.  X )
403, 4grpsubcl 15606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X  /\  c  e.  X )  ->  ( a  .-  c
)  e.  X )
4137, 38, 39, 40syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
a  .-  c )  e.  X )
4234, 41ffvelrnd 5844 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  c ) )  e.  RR )
43 simprlr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  b  e.  X )
443, 4grpsubcl 15606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X )  ->  ( b  .-  c
)  e.  X )
4537, 43, 39, 44syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
b  .-  c )  e.  X )
4634, 45ffvelrnd 5844 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( b  .-  c ) )  e.  RR )
4742, 46readdcld 9413 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
a  .-  c )
)  +  ( F `
 ( b  .-  c ) ) )  e.  RR )
483, 4grpsubcl 15606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  c  e.  X  /\  a  e.  X )  ->  ( c  .-  a
)  e.  X )
4937, 39, 38, 48syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
c  .-  a )  e.  X )
5034, 49ffvelrnd 5844 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( c  .-  a ) )  e.  RR )
513, 4grpsubcl 15606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  c  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( c  .-  b
)  e.  X )
5237, 39, 43, 51syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
c  .-  b )  e.  X )
5334, 52ffvelrnd 5844 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( c  .-  b ) )  e.  RR )
5450, 53readdcld 9413 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
c  .-  a )
)  +  ( F `
 ( c  .-  b ) ) )  e.  RR )
553, 4grpnnncan2 15621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( a  .-  c
)  .-  ( b  .-  c ) )  =  ( a  .-  b
) )
5637, 38, 43, 39, 55syl13anc 1220 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( a  .-  c
)  .-  ( b  .-  c ) )  =  ( a  .-  b
) )
5756fveq2d 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( (
a  .-  c )  .-  ( b  .-  c
) ) )  =  ( F `  (
a  .-  b )
) )
58 nrmmetd.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
5958ralrimivva 2808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )
6059adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  ( x  .-  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) )
61 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( a  .-  c )  ->  (
x  .-  y )  =  ( ( a 
.-  c )  .-  y ) )
6261fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( a  .-  c )  ->  ( F `  ( x  .-  y ) )  =  ( F `  (
( a  .-  c
)  .-  y )
) )
63 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( a  .-  c )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( a  .-  c
) ) )
6463oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( a  .-  c )  ->  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( a  .-  c ) )  +  ( F `  y
) ) )
6562, 64breq12d 4305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( a  .-  c )  ->  (
( F `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( ( a  .-  c )  .-  y
) )  <_  (
( F `  (
a  .-  c )
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
66 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( b  .-  c )  ->  (
( a  .-  c
)  .-  y )  =  ( ( a 
.-  c )  .-  ( b  .-  c
) ) )
6766fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( b  .-  c )  ->  ( F `  ( (
a  .-  c )  .-  y ) )  =  ( F `  (
( a  .-  c
)  .-  ( b  .-  c ) ) ) )
68 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( b  .-  c )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( b  .-  c
) ) )
6968oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( b  .-  c )  ->  (
( F `  (
a  .-  c )
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( a  .-  c ) )  +  ( F `  (
b  .-  c )
) ) )
7067, 69breq12d 4305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( b  .-  c )  ->  (
( F `  (
( a  .-  c
)  .-  y )
)  <_  ( ( F `  ( a  .-  c ) )  +  ( F `  y
) )  <->  ( F `  ( ( a  .-  c )  .-  (
b  .-  c )
) )  <_  (
( F `  (
a  .-  c )
)  +  ( F `
 ( b  .-  c ) ) ) ) )
7165, 70rspc2va 3080 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a  .-  c )  e.  X  /\  ( b  .-  c
)  e.  X )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  ( ( a  .-  c )  .-  (
b  .-  c )
) )  <_  (
( F `  (
a  .-  c )
)  +  ( F `
 ( b  .-  c ) ) ) )
7241, 45, 60, 71syl21anc 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( (
a  .-  c )  .-  ( b  .-  c
) ) )  <_ 
( ( F `  ( a  .-  c
) )  +  ( F `  ( b 
.-  c ) ) ) )
7357, 72eqbrtrrd 4314 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  b ) )  <_ 
( ( F `  ( a  .-  c
) )  +  ( F `  ( b 
.-  c ) ) ) )
74 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  c  ->  (
b  e.  X  <->  c  e.  X ) )
7574anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  c  ->  (
( a  e.  X  /\  b  e.  X
)  <->  ( a  e.  X  /\  c  e.  X ) ) )
7675anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  c  ->  (
( ph  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  <->  ( ph  /\  ( a  e.  X  /\  c  e.  X
) ) ) )
77 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  c  ->  (
a  .-  b )  =  ( a  .-  c ) )
7877fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  c  ->  ( F `  ( a  .-  b ) )  =  ( F `  (
a  .-  c )
) )
79 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  c  ->  (
b  .-  a )  =  ( c  .-  a ) )
8079fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  c  ->  ( F `  ( b  .-  a ) )  =  ( F `  (
c  .-  a )
) )
8178, 80breq12d 4305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  c  ->  (
( F `  (
a  .-  b )
)  <_  ( F `  ( b  .-  a
) )  <->  ( F `  ( a  .-  c
) )  <_  ( F `  ( c  .-  a ) ) ) )
8276, 81imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  c  ->  (
( ( ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  b ) )  <_ 
( F `  (
b  .-  a )
) )  <->  ( ( ph  /\  ( a  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a  .-  c )
)  <_  ( F `  ( c  .-  a
) ) ) ) )
832adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  G  e.  Grp )
843, 29grpidcl 15566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  .0.  e.  X )
86 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
b  e.  X )
87 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
a  e.  X )
883, 4grpsubcl 15606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  b  e.  X  /\  a  e.  X )  ->  ( b  .-  a
)  e.  X )
8983, 86, 87, 88syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( b  .-  a
)  e.  X )
9059adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )
91 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  .0.  ->  (
x  .-  y )  =  (  .0.  .-  y
) )
9291fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  .0.  ->  ( F `  ( x  .-  y ) )  =  ( F `  (  .0.  .-  y ) ) )
93 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  .0.  ->  ( F `  x )  =  ( F `  .0.  ) )
9493oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  .0.  ->  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 .0.  )  +  ( F `  y
) ) )
9592, 94breq12d 4305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  .0.  ->  (
( F `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  (  .0.  .-  y
) )  <_  (
( F `  .0.  )  +  ( F `  y ) ) ) )
96 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( b  .-  a )  ->  (  .0.  .-  y )  =  (  .0.  .-  (
b  .-  a )
) )
9796fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( b  .-  a )  ->  ( F `  (  .0.  .-  y ) )  =  ( F `  (  .0.  .-  ( b  .-  a ) ) ) )
98 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( b  .-  a )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( b  .-  a
) ) )
9998oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( b  .-  a )  ->  (
( F `  .0.  )  +  ( F `  y ) )  =  ( ( F `  .0.  )  +  ( F `  ( b  .-  a ) ) ) )
10097, 99breq12d 4305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( b  .-  a )  ->  (
( F `  (  .0.  .-  y ) )  <_  ( ( F `
 .0.  )  +  ( F `  y
) )  <->  ( F `  (  .0.  .-  (
b  .-  a )
) )  <_  (
( F `  .0.  )  +  ( F `  ( b  .-  a
) ) ) ) )
10195, 100rspc2va 3080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  .0.  e.  X  /\  ( b  .-  a
)  e.  X )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  (  .0.  .-  ( b  .-  a ) ) )  <_  ( ( F `
 .0.  )  +  ( F `  (
b  .-  a )
) ) )
10285, 89, 90, 101syl21anc 1217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( F `  (  .0.  .-  ( b  .-  a ) ) )  <_  ( ( F `
 .0.  )  +  ( F `  (
b  .-  a )
) ) )
103 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
1043, 4, 103, 29grpinvval2 15609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  .-  a
)  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `
 ( b  .-  a ) )  =  (  .0.  .-  (
b  .-  a )
) )
10583, 89, 104syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  (
b  .-  a )
)  =  (  .0.  .-  ( b  .-  a
) ) )
1063, 4, 103grpinvsub 15608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  b  e.  X  /\  a  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  (
b  .-  a )
)  =  ( a 
.-  b ) )
10783, 86, 87, 106syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  (
b  .-  a )
)  =  ( a 
.-  b ) )
108105, 107eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
(  .0.  .-  (
b  .-  a )
)  =  ( a 
.-  b ) )
109108fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( F `  (  .0.  .-  ( b  .-  a ) ) )  =  ( F `  ( a  .-  b
) ) )
1102, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  .0.  e.  X )
111 pm5.501 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  .0.  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  (
x  =  .0.  <->  ( F `  x )  =  0 ) ) )
112 bicom 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  .0.  <->  ( F `  x )  =  0 )  <->  ( ( F `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
113111, 112syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  .0.  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  ) ) )
11493eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  .0.  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  ( F `  .0.  )  =  0 ) )
115113, 114bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  .0.  ->  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  <->  ( F `  .0.  )  =  0 ) )
116115rspccva 3072 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  .0.  e.  X )  ->  ( F `  .0.  )  =  0
)
11721, 110, 116syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  0 )
118117adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( F `  .0.  )  =  0 )
119118oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F `  .0.  )  +  ( F `  ( b  .-  a ) ) )  =  ( 0  +  ( F `  (
b  .-  a )
) ) )
1201adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  F : X --> RR )
121120, 89ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( F `  (
b  .-  a )
)  e.  RR )
122121recnd 9412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( F `  (
b  .-  a )
)  e.  CC )
123122addid2d 9570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( 0  +  ( F `  ( b 
.-  a ) ) )  =  ( F `
 ( b  .-  a ) ) )
124119, 123eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F `  .0.  )  +  ( F `  ( b  .-  a ) ) )  =  ( F `  ( b  .-  a
) ) )
125102, 109, 1243brtr3d 4321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a  .-  b )
)  <_  ( F `  ( b  .-  a
) ) )
12682, 125chvarv 1958 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a  .-  c )
)  <_  ( F `  ( c  .-  a
) ) )
127126adantrlr 722 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  c ) )  <_ 
( F `  (
c  .-  a )
) )
128 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  (
a  e.  X  <->  b  e.  X ) )
129128anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  e.  X  /\  c  e.  X
)  <->  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) ) )
130129anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  /\  (
a  e.  X  /\  c  e.  X )
)  <->  ( ph  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) ) ) )
131 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  (
a  .-  c )  =  ( b  .-  c ) )
132131fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  ( a  .-  c ) )  =  ( F `  (
b  .-  c )
) )
133 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  (
c  .-  a )  =  ( c  .-  b ) )
134133fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  ( c  .-  a ) )  =  ( F `  (
c  .-  b )
) )
135132, 134breq12d 4305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  (
( F `  (
a  .-  c )
)  <_  ( F `  ( c  .-  a
) )  <->  ( F `  ( b  .-  c
) )  <_  ( F `  ( c  .-  b ) ) ) )
136130, 135imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( ph  /\  ( a  e.  X  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  c ) )  <_ 
( F `  (
c  .-  a )
) )  <->  ( ( ph  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
b  .-  c )
)  <_  ( F `  ( c  .-  b
) ) ) ) )
137136, 126chvarv 1958 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
b  .-  c )
)  <_  ( F `  ( c  .-  b
) ) )
138137adantrll 721 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( b  .-  c ) )  <_ 
( F `  (
c  .-  b )
) )
13942, 46, 50, 53, 127, 138le2addd 9957 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
a  .-  c )
)  +  ( F `
 ( b  .-  c ) ) )  <_  ( ( F `
 ( c  .-  a ) )  +  ( F `  (
c  .-  b )
) ) )
14036, 47, 54, 73, 139letrd 9528 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  b ) )  <_ 
( ( F `  ( c  .-  a
) )  +  ( F `  ( c 
.-  b ) ) ) )
14115adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
a ( F  o.  .-  ) b )  =  ( F `  (
a  .-  b )
) )
1426adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  .-  :
( X  X.  X
) --> X )
143 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  X )  -> 
<. c ,  a >.  e.  ( X  X.  X
) )
14439, 38, 143syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  <. c ,  a >.  e.  ( X  X.  X ) )
145 fvco3 5768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.-  : ( X  X.  X ) --> X  /\  <. c ,  a
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  .-  ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  (  .-  `  <. c ,  a >. )
) )
146142, 144, 145syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( F  o.  .-  ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  (  .-  ` 
<. c ,  a >.
) ) )
147 df-ov 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( c ( F  o.  .-  ) a )  =  ( ( F  o.  .-  ) `  <. c ,  a >. )
148 df-ov 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( c 
.-  a )  =  (  .-  `  <. c ,  a >. )
149148fveq2i 5694 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 ( c  .-  a ) )  =  ( F `  (  .-  `  <. c ,  a
>. ) )
150146, 147, 1493eqtr4g 2500 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
c ( F  o.  .-  ) a )  =  ( F `  (
c  .-  a )
) )
151 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  X  /\  b  e.  X )  -> 
<. c ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
15239, 43, 151syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  <. c ,  b >.  e.  ( X  X.  X ) )
153 fvco3 5768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.-  : ( X  X.  X ) --> X  /\  <. c ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  .-  ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  (  .-  `  <. c ,  b >. )
) )
154142, 152, 153syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( F  o.  .-  ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  (  .-  ` 
<. c ,  b >.
) ) )
155 df-ov 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( c ( F  o.  .-  ) b )  =  ( ( F  o.  .-  ) `  <. c ,  b >. )
156 df-ov 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( c 
.-  b )  =  (  .-  `  <. c ,  b >. )
157156fveq2i 5694 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 ( c  .-  b ) )  =  ( F `  (  .-  `  <. c ,  b
>. ) )
158154, 155, 1573eqtr4g 2500 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
c ( F  o.  .-  ) b )  =  ( F `  (
c  .-  b )
) )
159150, 158oveq12d 6109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( c ( F  o.  .-  ) a
)  +  ( c ( F  o.  .-  ) b ) )  =  ( ( F `
 ( c  .-  a ) )  +  ( F `  (
c  .-  b )
) ) )
160140, 141, 1593brtr4d 4322 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
a ( F  o.  .-  ) b )  <_ 
( ( c ( F  o.  .-  )
a )  +  ( c ( F  o.  .-  ) b ) ) )
161160expr 615 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( c  e.  X  ->  ( a ( F  o.  .-  ) b
)  <_  ( (
c ( F  o.  .-  ) a )  +  ( c ( F  o.  .-  ) b
) ) ) )
162161ralrimiv 2798 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  A. c  e.  X  ( a ( F  o.  .-  ) b
)  <_  ( (
c ( F  o.  .-  ) a )  +  ( c ( F  o.  .-  ) b
) ) )
16333, 162jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( ( a ( F  o.  .-  ) b )  =  0  <->  a  =  b )  /\  A. c  e.  X  ( a
( F  o.  .-  ) b )  <_ 
( ( c ( F  o.  .-  )
a )  +  ( c ( F  o.  .-  ) b ) ) ) )
164163ralrimivva 2808 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( ( a ( F  o.  .-  ) b )  =  0  <->  a  =  b )  /\  A. c  e.  X  ( a
( F  o.  .-  ) b )  <_ 
( ( c ( F  o.  .-  )
a )  +  ( c ( F  o.  .-  ) b ) ) ) )
165 fvex 5701 . . . 4  |-  ( Base `  G )  e.  _V
1663, 165eqeltri 2513 . . 3  |-  X  e. 
_V
167 ismet 19898 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X )  <->  ( ( F  o.  .-  ) : ( X  X.  X
) --> RR  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( ( a ( F  o.  .-  )
b )  =  0  <-> 
a  =  b )  /\  A. c  e.  X  ( a ( F  o.  .-  )
b )  <_  (
( c ( F  o.  .-  ) a
)  +  ( c ( F  o.  .-  ) b ) ) ) ) ) )
168166, 167ax-mp 5 . 2  |-  ( ( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X
)  <->  ( ( F  o.  .-  ) :
( X  X.  X
) --> RR  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( ( a ( F  o.  .-  )
b )  =  0  <-> 
a  =  b )  /\  A. c  e.  X  ( a ( F  o.  .-  )
b )  <_  (
( c ( F  o.  .-  ) a
)  +  ( c ( F  o.  .-  ) b ) ) ) ) )
1698, 164, 168sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972   <.cop 3883   class class class wbr 4292    X. cxp 4838    o. ccom 4844   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281   0cc0 9282    + caddc 9285    <_ cle 9419   Basecbs 14174   0gc0g 14378   Grpcgrp 15410   invgcminusg 15411   -gcsg 15413   Metcme 17802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-met 17811
This theorem is referenced by:  abvmet  20168  tngngpd  20239
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