MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrmmetd Structured version   Unicode version

Theorem nrmmetd 21180
Description: Show that a group norm generates a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrmmetd.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
nrmmetd.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
nrmmetd.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
nrmmetd.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
nrmmetd.f  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
nrmmetd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
nrmmetd.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
nrmmetd  |-  ( ph  ->  ( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x,  .0. , y    x, F, y    ph, x, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem nrmmetd
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrmmetd.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
2 nrmmetd.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
3 nrmmetd.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 nrmmetd.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
53, 4grpsubf 16234 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  .-  :
( X  X.  X
) --> X )
62, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  .-  : ( X  X.  X ) --> X )
7 fco 5649 . . 3  |-  ( ( F : X --> RR  /\  .-  : ( X  X.  X ) --> X )  ->  ( F  o.  .-  ) : ( X  X.  X ) --> RR )
81, 6, 7syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o.  .-  ) : ( X  X.  X ) --> RR )
9 opelxpi 4945 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  -> 
<. a ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
10 fvco3 5851 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.-  : ( X  X.  X ) --> X  /\  <. a ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  .-  ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  (  .-  `  <. a ,  b >. )
) )
116, 9, 10syl2an 475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F  o.  .-  ) `  <. a ,  b >. )  =  ( F `  (  .-  `  <. a ,  b >. )
) )
12 df-ov 6199 . . . . . . 7  |-  ( a ( F  o.  .-  ) b )  =  ( ( F  o.  .-  ) `  <. a ,  b >. )
13 df-ov 6199 . . . . . . . 8  |-  ( a 
.-  b )  =  (  .-  `  <. a ,  b >. )
1413fveq2i 5777 . . . . . . 7  |-  ( F `
 ( a  .-  b ) )  =  ( F `  (  .-  `  <. a ,  b
>. ) )
1511, 12, 143eqtr4g 2448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a ( F  o.  .-  ) b
)  =  ( F `
 ( a  .-  b ) ) )
1615eqeq1d 2384 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  .-  )
b )  =  0  <-> 
( F `  (
a  .-  b )
)  =  0 ) )
173, 4grpsubcl 16235 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( a  .-  b
)  e.  X )
18173expb 1195 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
a  .-  b )  e.  X )
192, 18sylan 469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( a  .-  b
)  e.  X )
20 nrmmetd.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
2120ralrimiva 2796 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )
)
22 fveq2 5774 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( a  .-  b )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( a  .-  b
) ) )
2322eqeq1d 2384 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( a  .-  b )  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  ( F `  ( a  .-  b ) )  =  0 ) )
24 eqeq1 2386 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( a  .-  b )  ->  (
x  =  .0.  <->  ( a  .-  b )  =  .0.  ) )
2523, 24bibi12d 319 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( a  .-  b )  ->  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  <->  ( ( F `  (
a  .-  b )
)  =  0  <->  (
a  .-  b )  =  .0.  ) ) )
2625rspccva 3134 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  ( a  .-  b
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 ( a  .-  b ) )  =  0  <->  ( a  .-  b )  =  .0.  ) )
2721, 26sylan 469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  .-  b )  e.  X
)  ->  ( ( F `  ( a  .-  b ) )  =  0  <->  ( a  .-  b )  =  .0.  ) )
2819, 27syldan 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F `  ( a  .-  b
) )  =  0  <-> 
( a  .-  b
)  =  .0.  )
)
29 nrmmetd.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
303, 29, 4grpsubeq0 16241 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( ( a  .-  b )  =  .0.  <->  a  =  b ) )
31303expb 1195 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( a  .-  b
)  =  .0.  <->  a  =  b ) )
322, 31sylan 469 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a  .-  b )  =  .0.  <->  a  =  b ) )
3316, 28, 323bitrd 279 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( a ( F  o.  .-  )
b )  =  0  <-> 
a  =  b ) )
341adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  F : X --> RR )
3519adantrr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
a  .-  b )  e.  X )
3634, 35ffvelrnd 5934 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  b ) )  e.  RR )
372adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  G  e.  Grp )
38 simprll 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  a  e.  X )
39 simprr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  c  e.  X )
403, 4grpsubcl 16235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X  /\  c  e.  X )  ->  ( a  .-  c
)  e.  X )
4137, 38, 39, 40syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
a  .-  c )  e.  X )
4234, 41ffvelrnd 5934 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  c ) )  e.  RR )
43 simprlr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  b  e.  X )
443, 4grpsubcl 16235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X )  ->  ( b  .-  c
)  e.  X )
4537, 43, 39, 44syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
b  .-  c )  e.  X )
4634, 45ffvelrnd 5934 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( b  .-  c ) )  e.  RR )
4742, 46readdcld 9534 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
a  .-  c )
)  +  ( F `
 ( b  .-  c ) ) )  e.  RR )
483, 4grpsubcl 16235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  c  e.  X  /\  a  e.  X )  ->  ( c  .-  a
)  e.  X )
4937, 39, 38, 48syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
c  .-  a )  e.  X )
5034, 49ffvelrnd 5934 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( c  .-  a ) )  e.  RR )
513, 4grpsubcl 16235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  c  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( c  .-  b
)  e.  X )
5237, 39, 43, 51syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
c  .-  b )  e.  X )
5334, 52ffvelrnd 5934 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( c  .-  b ) )  e.  RR )
5450, 53readdcld 9534 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
c  .-  a )
)  +  ( F `
 ( c  .-  b ) ) )  e.  RR )
553, 4grpnnncan2 16252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( a  .-  c
)  .-  ( b  .-  c ) )  =  ( a  .-  b
) )
5637, 38, 43, 39, 55syl13anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( a  .-  c
)  .-  ( b  .-  c ) )  =  ( a  .-  b
) )
5756fveq2d 5778 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( (
a  .-  c )  .-  ( b  .-  c
) ) )  =  ( F `  (
a  .-  b )
) )
58 nrmmetd.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
5958ralrimivva 2803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )
6059adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  ( x  .-  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) )
61 oveq1 6203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( a  .-  c )  ->  (
x  .-  y )  =  ( ( a 
.-  c )  .-  y ) )
6261fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( a  .-  c )  ->  ( F `  ( x  .-  y ) )  =  ( F `  (
( a  .-  c
)  .-  y )
) )
63 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( a  .-  c )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( a  .-  c
) ) )
6463oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( a  .-  c )  ->  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( a  .-  c ) )  +  ( F `  y
) ) )
6562, 64breq12d 4380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( a  .-  c )  ->  (
( F `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( ( a  .-  c )  .-  y
) )  <_  (
( F `  (
a  .-  c )
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
66 oveq2 6204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( b  .-  c )  ->  (
( a  .-  c
)  .-  y )  =  ( ( a 
.-  c )  .-  ( b  .-  c
) ) )
6766fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( b  .-  c )  ->  ( F `  ( (
a  .-  c )  .-  y ) )  =  ( F `  (
( a  .-  c
)  .-  ( b  .-  c ) ) ) )
68 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( b  .-  c )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( b  .-  c
) ) )
6968oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( b  .-  c )  ->  (
( F `  (
a  .-  c )
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( a  .-  c ) )  +  ( F `  (
b  .-  c )
) ) )
7067, 69breq12d 4380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( b  .-  c )  ->  (
( F `  (
( a  .-  c
)  .-  y )
)  <_  ( ( F `  ( a  .-  c ) )  +  ( F `  y
) )  <->  ( F `  ( ( a  .-  c )  .-  (
b  .-  c )
) )  <_  (
( F `  (
a  .-  c )
)  +  ( F `
 ( b  .-  c ) ) ) ) )
7165, 70rspc2va 3145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a  .-  c )  e.  X  /\  ( b  .-  c
)  e.  X )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  ( ( a  .-  c )  .-  (
b  .-  c )
) )  <_  (
( F `  (
a  .-  c )
)  +  ( F `
 ( b  .-  c ) ) ) )
7241, 45, 60, 71syl21anc 1225 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( (
a  .-  c )  .-  ( b  .-  c
) ) )  <_ 
( ( F `  ( a  .-  c
) )  +  ( F `  ( b 
.-  c ) ) ) )
7357, 72eqbrtrrd 4389 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  b ) )  <_ 
( ( F `  ( a  .-  c
) )  +  ( F `  ( b 
.-  c ) ) ) )
74 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  c  ->  (
b  e.  X  <->  c  e.  X ) )
7574anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  c  ->  (
( a  e.  X  /\  b  e.  X
)  <->  ( a  e.  X  /\  c  e.  X ) ) )
7675anbi2d 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  c  ->  (
( ph  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  <->  ( ph  /\  ( a  e.  X  /\  c  e.  X
) ) ) )
77 oveq2 6204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  c  ->  (
a  .-  b )  =  ( a  .-  c ) )
7877fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  c  ->  ( F `  ( a  .-  b ) )  =  ( F `  (
a  .-  c )
) )
79 oveq1 6203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  c  ->  (
b  .-  a )  =  ( c  .-  a ) )
8079fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  c  ->  ( F `  ( b  .-  a ) )  =  ( F `  (
c  .-  a )
) )
8178, 80breq12d 4380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  c  ->  (
( F `  (
a  .-  b )
)  <_  ( F `  ( b  .-  a
) )  <->  ( F `  ( a  .-  c
) )  <_  ( F `  ( c  .-  a ) ) ) )
8276, 81imbi12d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  c  ->  (
( ( ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  b ) )  <_ 
( F `  (
b  .-  a )
) )  <->  ( ( ph  /\  ( a  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a  .-  c )
)  <_  ( F `  ( c  .-  a
) ) ) ) )
832adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  G  e.  Grp )
843, 29grpidcl 16195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  .0.  e.  X )
86 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
b  e.  X )
87 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
a  e.  X )
883, 4grpsubcl 16235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  b  e.  X  /\  a  e.  X )  ->  ( b  .-  a
)  e.  X )
8983, 86, 87, 88syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( b  .-  a
)  e.  X )
9059adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )
91 oveq1 6203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  .0.  ->  (
x  .-  y )  =  (  .0.  .-  y
) )
9291fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  .0.  ->  ( F `  ( x  .-  y ) )  =  ( F `  (  .0.  .-  y ) ) )
93 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  .0.  ->  ( F `  x )  =  ( F `  .0.  ) )
9493oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  .0.  ->  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 .0.  )  +  ( F `  y
) ) )
9592, 94breq12d 4380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  .0.  ->  (
( F `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  (  .0.  .-  y
) )  <_  (
( F `  .0.  )  +  ( F `  y ) ) ) )
96 oveq2 6204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( b  .-  a )  ->  (  .0.  .-  y )  =  (  .0.  .-  (
b  .-  a )
) )
9796fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( b  .-  a )  ->  ( F `  (  .0.  .-  y ) )  =  ( F `  (  .0.  .-  ( b  .-  a ) ) ) )
98 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( b  .-  a )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( b  .-  a
) ) )
9998oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( b  .-  a )  ->  (
( F `  .0.  )  +  ( F `  y ) )  =  ( ( F `  .0.  )  +  ( F `  ( b  .-  a ) ) ) )
10097, 99breq12d 4380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( b  .-  a )  ->  (
( F `  (  .0.  .-  y ) )  <_  ( ( F `
 .0.  )  +  ( F `  y
) )  <->  ( F `  (  .0.  .-  (
b  .-  a )
) )  <_  (
( F `  .0.  )  +  ( F `  ( b  .-  a
) ) ) ) )
10195, 100rspc2va 3145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  .0.  e.  X  /\  ( b  .-  a
)  e.  X )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )  ->  ( F `  (  .0.  .-  ( b  .-  a ) ) )  <_  ( ( F `
 .0.  )  +  ( F `  (
b  .-  a )
) ) )
10285, 89, 90, 101syl21anc 1225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( F `  (  .0.  .-  ( b  .-  a ) ) )  <_  ( ( F `
 .0.  )  +  ( F `  (
b  .-  a )
) ) )
103 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
1043, 4, 103, 29grpinvval2 16238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  .-  a
)  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `
 ( b  .-  a ) )  =  (  .0.  .-  (
b  .-  a )
) )
10583, 89, 104syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  (
b  .-  a )
)  =  (  .0.  .-  ( b  .-  a
) ) )
1063, 4, 103grpinvsub 16237 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  b  e.  X  /\  a  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  (
b  .-  a )
)  =  ( a 
.-  b ) )
10783, 86, 87, 106syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  (
b  .-  a )
)  =  ( a 
.-  b ) )
108105, 107eqtr3d 2425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
(  .0.  .-  (
b  .-  a )
)  =  ( a 
.-  b ) )
109108fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( F `  (  .0.  .-  ( b  .-  a ) ) )  =  ( F `  ( a  .-  b
) ) )
1102, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  .0.  e.  X )
111 pm5.501 339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  .0.  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  (
x  =  .0.  <->  ( F `  x )  =  0 ) ) )
112 bicom 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  .0.  <->  ( F `  x )  =  0 )  <->  ( ( F `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
113111, 112syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  .0.  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  ) ) )
11493eqeq1d 2384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  .0.  ->  (
( F `  x
)  =  0  <->  ( F `  .0.  )  =  0 ) )
115113, 114bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  .0.  ->  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  <->  ( F `  .0.  )  =  0 ) )
116115rspccva 3134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. x  e.  X  ( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  .0.  e.  X )  ->  ( F `  .0.  )  =  0
)
11721, 110, 116syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  0 )
118117adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( F `  .0.  )  =  0 )
119118oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F `  .0.  )  +  ( F `  ( b  .-  a ) ) )  =  ( 0  +  ( F `  (
b  .-  a )
) ) )
1201adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  F : X --> RR )
121120, 89ffvelrnd 5934 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( F `  (
b  .-  a )
)  e.  RR )
122121recnd 9533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( F `  (
b  .-  a )
)  e.  CC )
123122addid2d 9692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( 0  +  ( F `  ( b 
.-  a ) ) )  =  ( F `
 ( b  .-  a ) ) )
124119, 123eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( F `  .0.  )  +  ( F `  ( b  .-  a ) ) )  =  ( F `  ( b  .-  a
) ) )
125102, 109, 1243brtr3d 4396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a  .-  b )
)  <_  ( F `  ( b  .-  a
) ) )
12682, 125chvarv 2021 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
a  .-  c )
)  <_  ( F `  ( c  .-  a
) ) )
127126adantrlr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  c ) )  <_ 
( F `  (
c  .-  a )
) )
128 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  (
a  e.  X  <->  b  e.  X ) )
129128anbi1d 702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  e.  X  /\  c  e.  X
)  <->  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) ) )
130129anbi2d 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  /\  (
a  e.  X  /\  c  e.  X )
)  <->  ( ph  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) ) ) )
131 oveq1 6203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  (
a  .-  c )  =  ( b  .-  c ) )
132131fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  ( a  .-  c ) )  =  ( F `  (
b  .-  c )
) )
133 oveq2 6204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  (
c  .-  a )  =  ( c  .-  b ) )
134133fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  ( c  .-  a ) )  =  ( F `  (
c  .-  b )
) )
135132, 134breq12d 4380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  (
( F `  (
a  .-  c )
)  <_  ( F `  ( c  .-  a
) )  <->  ( F `  ( b  .-  c
) )  <_  ( F `  ( c  .-  b ) ) ) )
136130, 135imbi12d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( ph  /\  ( a  e.  X  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  c ) )  <_ 
( F `  (
c  .-  a )
) )  <->  ( ( ph  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
b  .-  c )
)  <_  ( F `  ( c  .-  b
) ) ) ) )
137136, 126chvarv 2021 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( F `  (
b  .-  c )
)  <_  ( F `  ( c  .-  b
) ) )
138137adantrll 719 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( b  .-  c ) )  <_ 
( F `  (
c  .-  b )
) )
13942, 46, 50, 53, 127, 138le2addd 10087 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
a  .-  c )
)  +  ( F `
 ( b  .-  c ) ) )  <_  ( ( F `
 ( c  .-  a ) )  +  ( F `  (
c  .-  b )
) ) )
14036, 47, 54, 73, 139letrd 9650 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  ( F `  ( a  .-  b ) )  <_ 
( ( F `  ( c  .-  a
) )  +  ( F `  ( c 
.-  b ) ) ) )
14115adantrr 714 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
a ( F  o.  .-  ) b )  =  ( F `  (
a  .-  b )
) )
1426adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  .-  :
( X  X.  X
) --> X )
143 opelxpi 4945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  X )  -> 
<. c ,  a >.  e.  ( X  X.  X
) )
14439, 38, 143syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  <. c ,  a >.  e.  ( X  X.  X ) )
145 fvco3 5851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.-  : ( X  X.  X ) --> X  /\  <. c ,  a
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  .-  ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  (  .-  `  <. c ,  a >. )
) )
146142, 144, 145syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( F  o.  .-  ) `  <. c ,  a >. )  =  ( F `  (  .-  ` 
<. c ,  a >.
) ) )
147 df-ov 6199 . . . . . . . . 9  |-  ( c ( F  o.  .-  ) a )  =  ( ( F  o.  .-  ) `  <. c ,  a >. )
148 df-ov 6199 . . . . . . . . . 10  |-  ( c 
.-  a )  =  (  .-  `  <. c ,  a >. )
149148fveq2i 5777 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 ( c  .-  a ) )  =  ( F `  (  .-  `  <. c ,  a
>. ) )
150146, 147, 1493eqtr4g 2448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
c ( F  o.  .-  ) a )  =  ( F `  (
c  .-  a )
) )
151 opelxpi 4945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  X  /\  b  e.  X )  -> 
<. c ,  b >.  e.  ( X  X.  X
) )
15239, 43, 151syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  <. c ,  b >.  e.  ( X  X.  X ) )
153 fvco3 5851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.-  : ( X  X.  X ) --> X  /\  <. c ,  b
>.  e.  ( X  X.  X ) )  -> 
( ( F  o.  .-  ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  (  .-  `  <. c ,  b >. )
) )
154142, 152, 153syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( F  o.  .-  ) `  <. c ,  b >. )  =  ( F `  (  .-  ` 
<. c ,  b >.
) ) )
155 df-ov 6199 . . . . . . . . 9  |-  ( c ( F  o.  .-  ) b )  =  ( ( F  o.  .-  ) `  <. c ,  b >. )
156 df-ov 6199 . . . . . . . . . 10  |-  ( c 
.-  b )  =  (  .-  `  <. c ,  b >. )
157156fveq2i 5777 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 ( c  .-  b ) )  =  ( F `  (  .-  `  <. c ,  b
>. ) )
158154, 155, 1573eqtr4g 2448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
c ( F  o.  .-  ) b )  =  ( F `  (
c  .-  b )
) )
159150, 158oveq12d 6214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
( c ( F  o.  .-  ) a
)  +  ( c ( F  o.  .-  ) b ) )  =  ( ( F `
 ( c  .-  a ) )  +  ( F `  (
c  .-  b )
) ) )
160140, 141, 1593brtr4d 4397 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  c  e.  X
) )  ->  (
a ( F  o.  .-  ) b )  <_ 
( ( c ( F  o.  .-  )
a )  +  ( c ( F  o.  .-  ) b ) ) )
161160expr 613 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( c  e.  X  ->  ( a ( F  o.  .-  ) b
)  <_  ( (
c ( F  o.  .-  ) a )  +  ( c ( F  o.  .-  ) b
) ) ) )
162161ralrimiv 2794 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  ->  A. c  e.  X  ( a ( F  o.  .-  ) b
)  <_  ( (
c ( F  o.  .-  ) a )  +  ( c ( F  o.  .-  ) b
) ) )
16333, 162jca 530 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( ( a ( F  o.  .-  ) b )  =  0  <->  a  =  b )  /\  A. c  e.  X  ( a
( F  o.  .-  ) b )  <_ 
( ( c ( F  o.  .-  )
a )  +  ( c ( F  o.  .-  ) b ) ) ) )
164163ralrimivva 2803 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( ( a ( F  o.  .-  ) b )  =  0  <->  a  =  b )  /\  A. c  e.  X  ( a
( F  o.  .-  ) b )  <_ 
( ( c ( F  o.  .-  )
a )  +  ( c ( F  o.  .-  ) b ) ) ) )
165 fvex 5784 . . . 4  |-  ( Base `  G )  e.  _V
1663, 165eqeltri 2466 . . 3  |-  X  e. 
_V
167 ismet 20911 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X )  <->  ( ( F  o.  .-  ) : ( X  X.  X
) --> RR  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( ( a ( F  o.  .-  )
b )  =  0  <-> 
a  =  b )  /\  A. c  e.  X  ( a ( F  o.  .-  )
b )  <_  (
( c ( F  o.  .-  ) a
)  +  ( c ( F  o.  .-  ) b ) ) ) ) ) )
168166, 167ax-mp 5 . 2  |-  ( ( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X
)  <->  ( ( F  o.  .-  ) :
( X  X.  X
) --> RR  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( ( a ( F  o.  .-  )
b )  =  0  <-> 
a  =  b )  /\  A. c  e.  X  ( a ( F  o.  .-  )
b )  <_  (
( c ( F  o.  .-  ) a
)  +  ( c ( F  o.  .-  ) b ) ) ) ) )
1698, 164, 168sylanbrc 662 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  .-  )  e.  ( Met `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   _Vcvv 3034   <.cop 3950   class class class wbr 4367    X. cxp 4911    o. ccom 4917   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   RRcr 9402   0cc0 9403    + caddc 9406    <_ cle 9540   Basecbs 14634   0gc0g 14847   Grpcgrp 16170   invgcminusg 16171   -gcsg 16172   Metcme 18517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-met 18526
This theorem is referenced by:  abvmet  21181  tngngpd  21252
  Copyright terms: Public domain W3C validator