MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpsubeq0 17324
Description: If the difference between two group elements is zero, they are equal. (subeq0 10186 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubid.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o 0 = (0g𝐺)
grpsubid.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpsubeq0 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) = 0𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem grpsubeq0
StepHypRef Expression
1 grpsubid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2610 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 eqid 2610 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4 grpsubid.m . . . . 5 = (-g𝐺)
51, 2, 3, 4grpsubval 17288 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
653adant1 1072 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
76eqeq1d 2612 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) = 0 ↔ (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) = 0 ))
8 simp1 1054 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
91, 3grpinvcl 17290 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
1093adant2 1073 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11 simp2 1055 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
12 grpsubid.o . . . 4 0 = (0g𝐺)
131, 2, 12, 3grpinvid2 17294 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑋 ↔ (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) = 0 ))
148, 10, 11, 13syl3anc 1318 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑋 ↔ (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) = 0 ))
151, 3grpinvinv 17305 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
16153adant2 1073 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑌)
1716eqeq1d 2612 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑋𝑌 = 𝑋))
18 eqcom 2617 . . 3 (𝑌 = 𝑋𝑋 = 𝑌)
1917, 18syl6bb 275 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘𝑌)) = 𝑋𝑋 = 𝑌))
207, 14, 193bitr2d 295 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) = 0𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  -gcsg 17247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250
This theorem is referenced by:  ghmeqker  17510  ghmf1  17512  odcong  17791  subgdisj1  17927  dprdf11  18245  kerf1hrm  18566  lmodsubeq0  18745  lvecvscan2  18933  ip2eq  19817  mdetuni0  20246  tgphaus  21730  nrmmetd  22189  ply1divmo  23699  dvdsq1p  23724  dvdsr1p  23725  ply1remlem  23726  ig1peu  23735  dchr2sum  24798  eqlkr  33404  hdmap11  36158  hdmapinvlem4  36231  idomrootle  36792  lidldomn1  41711
  Copyright terms: Public domain W3C validator