Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmods Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmods 22358
 Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmods.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmods.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmods.c 𝐶 = (dist‘𝑆)
nmods.d 𝐷 = (dist‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmods ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)))

Proof of Theorem nmods
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
2 nghmrcl1 22346 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
3 ngpgrp 22213 . . . . 5 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
5 nmods.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑆)
6 eqid 2610 . . . . 5 (-g𝑆) = (-g𝑆)
75, 6grpsubcl 17318 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(-g𝑆)𝐵) ∈ 𝑉)
84, 7syl3an1 1351 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(-g𝑆)𝐵) ∈ 𝑉)
9 nmods.n . . . 4 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
10 eqid 2610 . . . 4 (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
11 eqid 2610 . . . 4 (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
129, 5, 10, 11nmoi 22342 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (𝐴(-g𝑆)𝐵) ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))) ≤ ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))))
131, 8, 12syl2anc 691 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))) ≤ ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))))
14 nghmrcl2 22347 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
15143ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
16 nghmghm 22348 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
17163ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
18 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
195, 18ghmf 17487 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
2017, 19syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
21 simp2 1055 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴𝑉)
2220, 21ffvelrnd 6268 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑇))
23 simp3 1056 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
2420, 23ffvelrnd 6268 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇))
25 eqid 2610 . . . . 5 (-g𝑇) = (-g𝑇)
26 nmods.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝑇)
2711, 18, 25, 26ngpds 22218 . . . 4 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇)) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵))))
2815, 22, 24, 27syl3anc 1318 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵))))
295, 6, 25ghmsub 17491 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵)) = ((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵)))
3016, 29syl3an1 1351 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵)) = ((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵)))
3130fveq2d 6107 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))) = ((norm‘𝑇)‘((𝐹𝐴)(-g𝑇)(𝐹𝐵))))
3228, 31eqtr4d 2647 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) = ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))))
33 nmods.c . . . . 5 𝐶 = (dist‘𝑆)
3410, 5, 6, 33ngpds 22218 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐶𝐵) = ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵)))
352, 34syl3an1 1351 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐶𝐵) = ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵)))
3635oveq2d 6565 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝑁𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)) = ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘(𝐴(-g𝑆)𝐵))))
3713, 32, 363brtr4d 4615 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐹𝐴)𝐷(𝐹𝐵)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐴𝐶𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   · cmul 9820   ≤ cle 9954  Basecbs 15695  distcds 15777  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247   GrpHom cghm 17480  normcnm 22191  NrmGrpcngp 22192   normOp cnmo 22319   NGHom cnghm 22320 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-ghm 17481  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nmo 22322  df-nghm 22323 This theorem is referenced by:  nghmcn  22359
 Copyright terms: Public domain W3C validator