MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2subdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2subdi 19808
Description: Distributive law for inner product subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipsubdir.m = (-g𝑊)
ipsubdir.s 𝑆 = (-g𝐹)
ip2subdi.p + = (+g𝐹)
ip2subdi.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
ip2subdi.2 (𝜑𝐴𝑉)
ip2subdi.3 (𝜑𝐵𝑉)
ip2subdi.4 (𝜑𝐶𝑉)
ip2subdi.5 (𝜑𝐷𝑉)
Assertion
Ref Expression
ip2subdi (𝜑 → ((𝐴 𝐵) , (𝐶 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem ip2subdi
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2 ip2subdi.p . . . 4 + = (+g𝐹)
3 ipsubdir.s . . . 4 𝑆 = (-g𝐹)
4 ip2subdi.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
5 phllmod 19794 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 phlsrng.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
87lmodring 18694 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
10 ringabl 18403 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Abel)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ Abel)
12 ip2subdi.2 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
13 ip2subdi.4 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑉)
14 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
15 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
167, 14, 15, 1ipcl 19797 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
174, 12, 13, 16syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
18 ip2subdi.5 . . . . 5 (𝜑𝐷𝑉)
197, 14, 15, 1ipcl 19797 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐷𝑉) → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
204, 12, 18, 19syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
21 ip2subdi.3 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
227, 14, 15, 1ipcl 19797 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
234, 21, 13, 22syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
241, 2, 3, 11, 17, 20, 23ablsubsub4 18047 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
2524oveq1d 6564 . 2 (𝜑 → ((((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) + (𝐵 , 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) + (𝐵 , 𝐷)))
26 ipsubdir.m . . . . . 6 = (-g𝑊)
2715, 26lmodvsubcl 18731 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶𝑉𝐷𝑉) → (𝐶 𝐷) ∈ 𝑉)
286, 13, 18, 27syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 𝐷) ∈ 𝑉)
297, 14, 15, 26, 3ipsubdir 19806 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉 ∧ (𝐶 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 𝐵) , (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 𝐷))𝑆(𝐵 , (𝐶 𝐷))))
304, 12, 21, 28, 29syl13anc 1320 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) , (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 𝐷))𝑆(𝐵 , (𝐶 𝐷))))
317, 14, 15, 26, 3ipsubdi 19807 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐴 , (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)))
324, 12, 13, 18, 31syl13anc 1320 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 , (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)))
337, 14, 15, 26, 3ipsubdi 19807 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐵 , (𝐶 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷)))
344, 21, 13, 18, 33syl13anc 1320 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷)))
3532, 34oveq12d 6567 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 , (𝐶 𝐷))𝑆(𝐵 , (𝐶 𝐷))) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷))))
36 ringgrp 18375 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
379, 36syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
381, 3grpsubcl 17318 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)) ∈ (Base‘𝐹))
3937, 17, 20, 38syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷)) ∈ (Base‘𝐹))
407, 14, 15, 1ipcl 19797 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐷𝑉) → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
414, 21, 18, 40syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
421, 2, 3, 11, 39, 23, 41ablsubsub 18046 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆((𝐵 , 𝐶)𝑆(𝐵 , 𝐷))) = ((((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) + (𝐵 , 𝐷)))
4330, 35, 423eqtrd 2648 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) , (𝐶 𝐷)) = ((((𝐴 , 𝐶)𝑆(𝐴 , 𝐷))𝑆(𝐵 , 𝐶)) + (𝐵 , 𝐷)))
441, 2ringacl 18401 . . . 4 ((𝐹 ∈ Ring ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
459, 20, 23, 44syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))
461, 2, 3abladdsub 18043 . . 3 ((𝐹 ∈ Abel ∧ ((𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) + (𝐵 , 𝐷)))
4711, 17, 41, 45, 46syl13anc 1320 . 2 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) + (𝐵 , 𝐷)))
4825, 43, 473eqtr4d 2654 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) , (𝐶 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))𝑆((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771  ·𝑖cip 15773  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  Abelcabl 18017  Ringcrg 18370  LModclmod 18686  PreHilcphl 19788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-ghm 17481  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-rnghom 18538  df-staf 18668  df-srng 18669  df-lmod 18688  df-lmhm 18843  df-lvec 18924  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-phl 19790
This theorem is referenced by:  cph2subdi  22818  ipcau2  22841  tchcphlem1  22842
  Copyright terms: Public domain W3C validator