Theorem archiabllem2a 29079

Description: Lemma for archiabl 29083, which requires the group to be both left- and right-ordered. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
archiabllem2.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
archiabllem2a.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archiabllem2a.5	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem2a	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏,𝑐   ≤ ,𝑎,𝑏,𝑐   < ,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   · (𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem archiabllem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 795	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → 𝑏 ∈ 𝐵)
2		simplrl 796	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → 0 < 𝑏)
3		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋)
4		breq2 4587	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ( 0 < 𝑐 ↔ 0 < 𝑏))
5		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → 𝑐 = 𝑏)
6	5, 5	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑐 + 𝑐) = (𝑏 + 𝑏))
7	6	breq1d 4593	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋 ↔ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋))
8	4, 7	anbi12d 743	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋) ↔ ( 0 < 𝑏 ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋)))
9	8	rspcev 3282	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
10	1, 2, 3, 9	syl12anc 1316	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ (𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
11		simplll 794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝜑)
12		archiabllem.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
13		ogrpgrp 29034	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑊 ∈ Grp)
15		archiabllem2a.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	11, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17		simpllr 795	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
18		archiabllem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
19		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
20	18, 19	grpsubcl 17318	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝐵)
21	14, 16, 17, 20	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝐵)
22		archiabllem.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
23	18, 22, 19	grpsubid 17322	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) = 0 )
24	14, 17, 23	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) = 0 )
25	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑊 ∈ oGrp)
26		simplrr 797	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑏 < 𝑋)
27		archiabllem.t	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝑊)
28	18, 27, 19	ogrpsublt 29053	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 < 𝑋) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
29	25, 17, 16, 17, 26, 28	syl131anc 1331	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏(-g‘𝑊)𝑏) < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
30	24, 29	eqbrtrrd 4607	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
31		archiabllem2.1	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
32		archiabllem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
33	11, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
34	18, 31	grpcl 17253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
35	14, 17, 17, 34	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
36		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → 𝑋 < (𝑏 + 𝑏))
37	18, 27, 19	ogrpsublt 29053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) < ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏))
38	25, 16, 35, 17, 36, 37	syl131anc 1331	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) < ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏))
39	18, 31, 19	grpaddsubass 17328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏) = (𝑏 + (𝑏(-g‘𝑊)𝑏)))
40	14, 17, 17, 17, 39	syl13anc 1320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏) = (𝑏 + (𝑏(-g‘𝑊)𝑏)))
41	24	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + (𝑏(-g‘𝑊)𝑏)) = (𝑏 + 0 ))
42	18, 31, 22	grprid 17276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 + 0 ) = 𝑏)
43	14, 17, 42	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑏 + 0 ) = 𝑏)
44	40, 41, 43	3eqtrd 2648	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑏 + 𝑏)(-g‘𝑊)𝑏) = 𝑏)
45	38, 44	breqtrd 4609	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) < 𝑏)
46	18, 27, 31, 14, 33, 21, 17, 21, 45	ogrpaddltrd 29051	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + 𝑏))
47	18, 31, 19	grpnpcan 17330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + 𝑏) = 𝑋)
48	14, 16, 17, 47	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + 𝑏) = 𝑋)
49	46, 48	breqtrd 4609	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < 𝑋)
50		ovex 6577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ∈ V
51	50	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ∈ V)
52		archiabllem.e	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
53	52, 27	pltle 16784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < 𝑋 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋))
54	14, 51, 16, 53	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → (((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) < 𝑋 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋))
55	49, 54	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋)
56		breq2 4587	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → ( 0 < 𝑐 ↔ 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)))
57		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → 𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏))
58	57, 57	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → (𝑐 + 𝑐) = ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)))
59	58	breq1d 4593	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → ((𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋 ↔ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋))
60	56, 59	anbi12d 743	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) → (( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋) ↔ ( 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∧ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋)))
61	60	rspcev 3282	. . . 4 ⊢ (((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝐵 ∧ ( 0 < (𝑋(-g‘𝑊)𝑏) ∧ ((𝑋(-g‘𝑊)𝑏) + (𝑋(-g‘𝑊)𝑏)) ≤ 𝑋)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
62	21, 30, 55, 61	syl12anc 1316	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) ∧ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
63	12	ad2antrr 758	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ oGrp)
64		isogrp 29033	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
65	64	simprbi 479	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
66		omndtos 29036	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
67	63, 65, 66	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ Toset)
68	63, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑊 ∈ Grp)
69		simplr 788	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
70	68, 69, 69, 34	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵)
71	15	ad2antrr 758	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
72	18, 52, 27	tlt2 28995	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑏 + 𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋 ∨ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)))
73	67, 70, 71, 72	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → ((𝑏 + 𝑏) ≤ 𝑋 ∨ 𝑋 < (𝑏 + 𝑏)))
74	10, 62, 73	mpjaodan 823	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)) → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))
75		archiabllem2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
76	75	3expia 1259	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)))
77	76	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)))
78		archiabllem2a.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
79		breq2 4587	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ( 0 < 𝑎 ↔ 0 < 𝑋))
80		breq2 4587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑏 < 𝑎 ↔ 𝑏 < 𝑋))
81	80	anbi2d 736	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎) ↔ ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)))
82	81	rexbidv 3034	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋)))
83	79, 82	imbi12d 333	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋))))
84	83	rspcv 3278	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑎 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋))))
85	15, 77, 78, 84	syl3c 64	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑋))
86	74, 85	r19.29a 3060	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑐 ∧ (𝑐 + 𝑐) ≤ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  lecple 15775  0_gc0g 15923  ltcplt 16764  Tosetctos 16856  Grpcgrp 17245  -_gcsg 17247  ._gcmg 17363  opp_gcoppg 17598  oMndcomnd 29028  oGrpcogrp 29029  Archicarchi 29062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-ple 15788  df-0g 15925  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-toset 16857  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-oppg 17599  df-omnd 29030  df-ogrp 29031

This theorem is referenced by:  archiabllem2c  29080