Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1subfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1subfv 19457
 Description: A particular coefficient of a subtraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sub.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
coe1sub.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1sub.p = (-g𝑌)
coe1sub.q 𝑁 = (-g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1subfv (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)))

Proof of Theorem coe1subfv
StepHypRef Expression
1 simpl1 1057 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
2 coe1sub.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 19439 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
4 ringgrp 18375 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
6 coe1sub.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
7 coe1sub.p . . . . . . . 8 = (-g𝑌)
86, 7grpsubcl 17318 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
95, 8syl3an1 1351 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
109adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
11 simpl3 1059 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐺𝐵)
12 simpr 476 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℕ0)
13 eqid 2610 . . . . . 6 (+g𝑌) = (+g𝑌)
14 eqid 2610 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
152, 6, 13, 14coe1addfv 19456 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)))
161, 10, 11, 12, 15syl31anc 1321 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)))
1753ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝑌 ∈ Grp)
1817adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ Grp)
19 simpl2 1058 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐹𝐵)
206, 13, 7grpnpcan 17330 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺) = 𝐹)
2118, 19, 11, 20syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺) = 𝐹)
2221fveq2d 6107 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺)) = (coe1𝐹))
2322fveq1d 6105 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺))‘𝑋) = ((coe1𝐹)‘𝑋))
2416, 23eqtr3d 2646 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1𝐹)‘𝑋))
25 ringgrp 18375 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
26253ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
2726adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
28 eqid 2610 . . . . . . 7 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
29 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3028, 6, 2, 29coe1f 19402 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
31303ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
3231ffvelrnda 6267 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
33 eqid 2610 . . . . . . 7 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
3433, 6, 2, 29coe1f 19402 . . . . . 6 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
35343ad2ant3 1077 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
3635ffvelrnda 6267 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
37 eqid 2610 . . . . . . 7 (coe1‘(𝐹 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 𝐺))
3837, 6, 2, 29coe1f 19402 . . . . . 6 ((𝐹 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
399, 38syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
4039ffvelrnda 6267 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
41 coe1sub.q . . . . 5 𝑁 = (-g𝑅)
4229, 14, 41grpsubadd 17326 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((coe1𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1𝐹)‘𝑋)))
4327, 32, 36, 40, 42syl13anc 1320 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1𝐹)‘𝑋)))
4424, 43mpbird 246 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋))
4544eqcomd 2616 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  Ringcrg 18370  Poly1cpl1 19368  coe1cco1 19369 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373  df-coe1 19374 This theorem is referenced by:  deg1sublt  23674  ply1remlem  23726
 Copyright terms: Public domain W3C validator