MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1divmo 23699
Description: Uniqueness of a quotient in a polynomial division. For polynomials 𝐹, 𝐺 such that 𝐺 ≠ 0 and the leading coefficient of 𝐺 is not a zero divisor, there is at most one polynomial 𝑞 which satisfies 𝐹 = (𝐺 · 𝑞) + 𝑟 where the degree of 𝑟 is less than the degree of 𝐺. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1divalg.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
ply1divalg.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m = (-g𝑃)
ply1divalg.z 0 = (0g𝑃)
ply1divalg.t = (.r𝑃)
ply1divalg.r1 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f (𝜑𝐹𝐵)
ply1divalg.g1 (𝜑𝐺𝐵)
ply1divalg.g2 (𝜑𝐺0 )
ply1divmo.g3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝐸)
ply1divmo.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1divmo (𝜑 → ∃*𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   ,𝑞   ,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑞)   𝑅(𝑞)   𝐸(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem ply1divmo
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1divalg.r1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
21adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
3 ply1divalg.p . . . . . . . . . . . . 13 𝑃 = (Poly1𝑅)
43ply1ring 19439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
6 ringgrp 18375 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
8 ply1divalg.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹𝐵)
98adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝐹𝐵)
10 ply1divalg.g1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺𝐵)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝐺𝐵)
12 simprl 790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑞𝐵)
13 ply1divalg.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝑃)
14 ply1divalg.t . . . . . . . . . . . . 13 = (.r𝑃)
1513, 14ringcl 18384 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝑞𝐵) → (𝐺 𝑞) ∈ 𝐵)
165, 11, 12, 15syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐺 𝑞) ∈ 𝐵)
17 ply1divalg.m . . . . . . . . . . . 12 = (-g𝑃)
1813, 17grpsubcl 17318 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (𝐺 𝑞) ∈ 𝐵) → (𝐹 (𝐺 𝑞)) ∈ 𝐵)
197, 9, 16, 18syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐹 (𝐺 𝑞)) ∈ 𝐵)
20 simprr 792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑟𝐵)
2113, 14ringcl 18384 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝑟𝐵) → (𝐺 𝑟) ∈ 𝐵)
225, 11, 20, 21syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐺 𝑟) ∈ 𝐵)
2313, 17grpsubcl 17318 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (𝐺 𝑟) ∈ 𝐵) → (𝐹 (𝐺 𝑟)) ∈ 𝐵)
247, 9, 22, 23syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐹 (𝐺 𝑟)) ∈ 𝐵)
2513, 17grpsubcl 17318 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝐹 (𝐺 𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 (𝐺 𝑟)) ∈ 𝐵) → ((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟))) ∈ 𝐵)
267, 19, 24, 25syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟))) ∈ 𝐵)
27 ply1divalg.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = ( deg1𝑅)
2827, 3, 13deg1xrcl 23646 . . . . . . . . 9 (((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟))) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ∈ ℝ*)
2926, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ∈ ℝ*)
3027, 3, 13deg1xrcl 23646 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 (𝐺 𝑟)) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) ∈ ℝ*)
3124, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) ∈ ℝ*)
3227, 3, 13deg1xrcl 23646 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 (𝐺 𝑞)) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ∈ ℝ*)
3319, 32syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ∈ ℝ*)
3431, 33ifcld 4081 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) ∈ ℝ*)
3527, 3, 13deg1xrcl 23646 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
3611, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
3729, 34, 363jca 1235 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*))
3837adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))) → ((𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*))
393, 27, 2, 13, 17, 19, 24deg1suble 23671 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))))
4039adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))))
41 xrmaxlt 11886 . . . . . . . . 9 (((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*) → (if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) < (𝐷𝐺) ↔ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))))
4233, 31, 36, 41syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) < (𝐷𝐺) ↔ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))))
4342biimpar 501 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))) → if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) < (𝐷𝐺))
4440, 43jca 553 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))) → ((𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) ∧ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) < (𝐷𝐺)))
45 xrlelttr 11863 . . . . . 6 (((𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*) → (((𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) ∧ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) < (𝐷𝐺)) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺)))
4638, 44, 45sylc 63 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺))
4746ex 449 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺)))
48 ply1divalg.g2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺0 )
49 ply1divalg.z . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (0g𝑃)
5027, 3, 49, 13deg1nn0cl 23652 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
511, 10, 48, 50syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
5251ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
5352nn0red 11229 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
541ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑅 ∈ Ring)
5513, 17grpsubcl 17318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑟𝐵𝑞𝐵) → (𝑟 𝑞) ∈ 𝐵)
567, 20, 12, 55syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑟 𝑞) ∈ 𝐵)
5756adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝑟 𝑞) ∈ 𝐵)
5813, 49, 17grpsubeq0 17324 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑟𝐵𝑞𝐵) → ((𝑟 𝑞) = 0𝑟 = 𝑞))
597, 20, 12, 58syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑟 𝑞) = 0𝑟 = 𝑞))
60 equcom 1932 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑞𝑞 = 𝑟)
6159, 60syl6bb 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑟 𝑞) = 0𝑞 = 𝑟))
6261necon3bid 2826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑟 𝑞) ≠ 0𝑞𝑟))
6362biimpar 501 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝑟 𝑞) ≠ 0 )
6427, 3, 49, 13deg1nn0cl 23652 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑟 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ (𝑟 𝑞) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝑟 𝑞)) ∈ ℕ0)
6554, 57, 63, 64syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷‘(𝑟 𝑞)) ∈ ℕ0)
66 nn0addge1 11216 . . . . . . . . . 10 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ ∧ (𝐷‘(𝑟 𝑞)) ∈ ℕ0) → (𝐷𝐺) ≤ ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝑟 𝑞))))
6753, 65, 66syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷𝐺) ≤ ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝑟 𝑞))))
68 ply1divmo.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
6910ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝐺𝐵)
7048ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝐺0 )
71 ply1divmo.g3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝐸)
7271ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝐸)
7327, 3, 68, 13, 14, 49, 54, 69, 70, 72, 57, 63deg1mul2 23678 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷‘(𝐺 (𝑟 𝑞))) = ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝑟 𝑞))))
7467, 73breqtrrd 4611 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷𝐺) ≤ (𝐷‘(𝐺 (𝑟 𝑞))))
75 ringabl 18403 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Abel)
765, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑃 ∈ Abel)
7713, 17, 76, 9, 16, 22ablnnncan1 18052 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟))) = ((𝐺 𝑟) (𝐺 𝑞)))
7813, 14, 17, 5, 11, 20, 12ringsubdi 18422 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐺 (𝑟 𝑞)) = ((𝐺 𝑟) (𝐺 𝑞)))
7977, 78eqtr4d 2647 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟))) = (𝐺 (𝑟 𝑞)))
8079fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) = (𝐷‘(𝐺 (𝑟 𝑞))))
8180adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) = (𝐷‘(𝐺 (𝑟 𝑞))))
8274, 81breqtrrd 4611 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷𝐺) ≤ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))))
83 xrlenlt 9982 . . . . . . . . 9 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐺) ≤ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ↔ ¬ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺)))
8436, 29, 83syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐷𝐺) ≤ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ↔ ¬ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺)))
8584adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → ((𝐷𝐺) ≤ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ↔ ¬ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺)))
8682, 85mpbid 221 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → ¬ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺))
8786ex 449 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑞𝑟 → ¬ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺)))
8887necon4ad 2801 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺) → 𝑞 = 𝑟))
8947, 88syld 46 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)) → 𝑞 = 𝑟))
9089ralrimivva 2954 . 2 (𝜑 → ∀𝑞𝐵𝑟𝐵 (((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)) → 𝑞 = 𝑟))
91 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑟 → (𝐺 𝑞) = (𝐺 𝑟))
9291oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑞 = 𝑟 → (𝐹 (𝐺 𝑞)) = (𝐹 (𝐺 𝑟)))
9392fveq2d 6107 . . . 4 (𝑞 = 𝑟 → (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) = (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))))
9493breq1d 4593 . . 3 (𝑞 = 𝑟 → ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
9594rmo4 3366 . 2 (∃*𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ ∀𝑞𝐵𝑟𝐵 (((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)) → 𝑞 = 𝑟))
9690, 95sylibr 223 1 (𝜑 → ∃*𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  ∃*wrmo 2899  ifcif 4036   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cr 9814   + caddc 9818  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  0cn0 11169  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  Abelcabl 18017  Ringcrg 18370  RLRegcrlreg 19100  Poly1cpl1 19368  coe1cco1 19369   deg1 cdg1 23618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-rlreg 19104  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373  df-coe1 19374  df-cnfld 19568  df-mdeg 23619  df-deg1 23620
This theorem is referenced by:  ply1divalg  23701
  Copyright terms: Public domain W3C validator