Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr2sum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchr2sum 24798
 Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑋(𝑎) · ∗𝑌(𝑎) over all 𝑎 is nonzero only when 𝑋 = 𝑌. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr2sum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr2sum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr2sum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchr2sum.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchr2sum.x (𝜑𝑋𝐷)
dchr2sum.y (𝜑𝑌𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchr2sum (𝜑 → Σ𝑎𝐵 ((𝑋𝑎) · (∗‘(𝑌𝑎))) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐺,𝑎   𝜑,𝑎   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎   𝑍,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem dchr2sum
StepHypRef Expression
1 dchr2sum.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchr2sum.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchr2sum.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2610 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5 dchr2sum.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐷)
61, 3dchrrcl 24765 . . . . . 6 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
81dchrabl 24779 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
9 ablgrp 18021 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
107, 8, 93syl 18 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
11 dchr2sum.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐷)
12 eqid 2610 . . . . 5 (-g𝐺) = (-g𝐺)
133, 12grpsubcl 17318 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐷𝑌𝐷) → (𝑋(-g𝐺)𝑌) ∈ 𝐷)
1410, 5, 11, 13syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝑋(-g𝐺)𝑌) ∈ 𝐷)
15 dchr2sum.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑍)
161, 2, 3, 4, 14, 15dchrsum 24794 . 2 (𝜑 → Σ𝑎𝐵 ((𝑋(-g𝐺)𝑌)‘𝑎) = if((𝑋(-g𝐺)𝑌) = (0g𝐺), (ϕ‘𝑁), 0))
175adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑋𝐷)
1811adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑌𝐷)
19 eqid 2610 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
20 eqid 2610 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
213, 19, 20, 12grpsubval 17288 . . . . . . 7 ((𝑋𝐷𝑌𝐷) → (𝑋(-g𝐺)𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
2217, 18, 21syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑋(-g𝐺)𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
237adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
2423, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
253, 20grpinvcl 17290 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐷) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐷)
2624, 18, 25syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐷)
271, 2, 3, 19, 17, 26dchrmul 24773 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) = (𝑋𝑓 · ((invg𝐺)‘𝑌)))
2822, 27eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑋(-g𝐺)𝑌) = (𝑋𝑓 · ((invg𝐺)‘𝑌)))
2928fveq1d 6105 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑋(-g𝐺)𝑌)‘𝑎) = ((𝑋𝑓 · ((invg𝐺)‘𝑌))‘𝑎))
301, 2, 3, 15, 17dchrf 24767 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
31 ffn 5958 . . . . . 6 (𝑋:𝐵⟶ℂ → 𝑋 Fn 𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑋 Fn 𝐵)
331, 2, 3, 15, 26dchrf 24767 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌):𝐵⟶ℂ)
34 ffn 5958 . . . . . 6 (((invg𝐺)‘𝑌):𝐵⟶ℂ → ((invg𝐺)‘𝑌) Fn 𝐵)
3533, 34syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) Fn 𝐵)
36 fvex 6113 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) ∈ V
3715, 36eqeltri 2684 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3837a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐵 ∈ V)
39 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎𝐵)
40 fnfvof 6809 . . . . 5 (((𝑋 Fn 𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑎𝐵)) → ((𝑋𝑓 · ((invg𝐺)‘𝑌))‘𝑎) = ((𝑋𝑎) · (((invg𝐺)‘𝑌)‘𝑎)))
4132, 35, 38, 39, 40syl22anc 1319 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑋𝑓 · ((invg𝐺)‘𝑌))‘𝑎) = ((𝑋𝑎) · (((invg𝐺)‘𝑌)‘𝑎)))
421, 3, 18, 20dchrinv 24786 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) = (∗ ∘ 𝑌))
4342fveq1d 6105 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → (((invg𝐺)‘𝑌)‘𝑎) = ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎))
441, 2, 3, 15, 18dchrf 24767 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑌:𝐵⟶ℂ)
45 fvco3 6185 . . . . . . 7 ((𝑌:𝐵⟶ℂ ∧ 𝑎𝐵) → ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌𝑎)))
4644, 39, 45syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌𝑎)))
4743, 46eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (((invg𝐺)‘𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌𝑎)))
4847oveq2d 6565 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑋𝑎) · (((invg𝐺)‘𝑌)‘𝑎)) = ((𝑋𝑎) · (∗‘(𝑌𝑎))))
4929, 41, 483eqtrd 2648 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑋(-g𝐺)𝑌)‘𝑎) = ((𝑋𝑎) · (∗‘(𝑌𝑎))))
5049sumeq2dv 14281 . 2 (𝜑 → Σ𝑎𝐵 ((𝑋(-g𝐺)𝑌)‘𝑎) = Σ𝑎𝐵 ((𝑋𝑎) · (∗‘(𝑌𝑎))))
513, 4, 12grpsubeq0 17324 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐷𝑌𝐷) → ((𝑋(-g𝐺)𝑌) = (0g𝐺) ↔ 𝑋 = 𝑌))
5210, 5, 11, 51syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → ((𝑋(-g𝐺)𝑌) = (0g𝐺) ↔ 𝑋 = 𝑌))
5352ifbid 4058 . 2 (𝜑 → if((𝑋(-g𝐺)𝑌) = (0g𝐺), (ϕ‘𝑁), 0) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))
5416, 50, 533eqtr3d 2652 1 (𝜑 → Σ𝑎𝐵 ((𝑋𝑎) · (∗‘(𝑌𝑎))) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ifcif 4036   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820  ℕcn 10897  ∗ccj 13684  Σcsu 14264  ϕcphi 15307  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  -gcsg 17247  Abelcabl 18017  ℤ/nℤczn 19670  DChrcdchr 24757 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-phi 15309  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-qus 15992  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-od 17771  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zn 19674  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108  df-dchr 24758 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator