MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr2sum Structured version   Unicode version

Theorem dchr2sum 22587
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of  X ( a )  x.  * Y ( a ) over all  a is nonzero only when  X  =  Y. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr2sum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchr2sum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchr2sum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchr2sum.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchr2sum.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchr2sum.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchr2sum  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X `  a )  x.  (
* `  ( Y `  a ) ) )  =  if ( X  =  Y ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    B, a    G, a    ph, a    X, a    Y, a    Z, a
Allowed substitution hints:    D( a)    N( a)

Proof of Theorem dchr2sum
StepHypRef Expression
1 dchr2sum.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchr2sum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchr2sum.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2438 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
5 dchr2sum.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
61, 3dchrrcl 22554 . . . . . 6  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
81dchrabl 22568 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  G  e.  Abel )
9 ablgrp 16273 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
107, 8, 93syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
11 dchr2sum.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
12 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
133, 12grpsubcl 15597 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( X ( -g `  G ) Y )  e.  D )
1410, 5, 11, 13syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( -g `  G ) Y )  e.  D )
15 dchr2sum.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
161, 2, 3, 4, 14, 15dchrsum 22583 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X (
-g `  G ) Y ) `  a
)  =  if ( ( X ( -g `  G ) Y )  =  ( 0g `  G ) ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
175adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  X  e.  D )
1811adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  Y  e.  D )
19 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
20 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
213, 19, 20, 12grpsubval 15572 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( X ( -g `  G ) Y )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  Y
) ) )
2217, 18, 21syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( X ( -g `  G
) Y )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  Y )
) )
237adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  N  e.  NN )
2423, 8, 93syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
253, 20grpinvcl 15574 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( invg `  G ) `  Y
)  e.  D )
2624, 18, 25syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( invg `  G ) `  Y
)  e.  D )
271, 2, 3, 19, 17, 26dchrmul 22562 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 Y ) )  =  ( X  oF  x.  ( ( invg `  G ) `
 Y ) ) )
2822, 27eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( X ( -g `  G
) Y )  =  ( X  oF  x.  ( ( invg `  G ) `
 Y ) ) )
2928fveq1d 5688 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X ( -g `  G ) Y ) `
 a )  =  ( ( X  oF  x.  ( ( invg `  G ) `
 Y ) ) `
 a ) )
301, 2, 3, 15, 17dchrf 22556 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  X : B --> CC )
31 ffn 5554 . . . . . 6  |-  ( X : B --> CC  ->  X  Fn  B )
3230, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  X  Fn  B )
331, 2, 3, 15, 26dchrf 22556 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( invg `  G ) `  Y
) : B --> CC )
34 ffn 5554 . . . . . 6  |-  ( ( ( invg `  G ) `  Y
) : B --> CC  ->  ( ( invg `  G ) `  Y
)  Fn  B )
3533, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( invg `  G ) `  Y
)  Fn  B )
36 fvex 5696 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Z )  e.  _V
3715, 36eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
3837a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  e.  _V )
39 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  a  e.  B )
40 fnfvof 6328 . . . . 5  |-  ( ( ( X  Fn  B  /\  ( ( invg `  G ) `  Y
)  Fn  B )  /\  ( B  e. 
_V  /\  a  e.  B ) )  -> 
( ( X  oF  x.  ( ( invg `  G ) `
 Y ) ) `
 a )  =  ( ( X `  a )  x.  (
( ( invg `  G ) `  Y
) `  a )
) )
4132, 35, 38, 39, 40syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X  oF  x.  ( ( invg `  G ) `
 Y ) ) `
 a )  =  ( ( X `  a )  x.  (
( ( invg `  G ) `  Y
) `  a )
) )
421, 3, 18, 20dchrinv 22575 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( invg `  G ) `  Y
)  =  ( *  o.  Y ) )
4342fveq1d 5688 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( invg `  G ) `  Y
) `  a )  =  ( ( *  o.  Y ) `  a ) )
441, 2, 3, 15, 18dchrf 22556 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  Y : B --> CC )
45 fvco3 5763 . . . . . . 7  |-  ( ( Y : B --> CC  /\  a  e.  B )  ->  ( ( *  o.  Y ) `  a
)  =  ( * `
 ( Y `  a ) ) )
4644, 39, 45syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( *  o.  Y
) `  a )  =  ( * `  ( Y `  a ) ) )
4743, 46eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( invg `  G ) `  Y
) `  a )  =  ( * `  ( Y `  a ) ) )
4847oveq2d 6102 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X `  a
)  x.  ( ( ( invg `  G ) `  Y
) `  a )
)  =  ( ( X `  a )  x.  ( * `  ( Y `  a ) ) ) )
4929, 41, 483eqtrd 2474 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X ( -g `  G ) Y ) `
 a )  =  ( ( X `  a )  x.  (
* `  ( Y `  a ) ) ) )
5049sumeq2dv 13172 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X (
-g `  G ) Y ) `  a
)  =  sum_ a  e.  B  ( ( X `  a )  x.  ( * `  ( Y `  a )
) ) )
513, 4, 12grpsubeq0 15603 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( X (
-g `  G ) Y )  =  ( 0g `  G )  <-> 
X  =  Y ) )
5210, 5, 11, 51syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X (
-g `  G ) Y )  =  ( 0g `  G )  <-> 
X  =  Y ) )
5352ifbid 3806 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( X ( -g `  G
) Y )  =  ( 0g `  G
) ,  ( phi `  N ) ,  0 )  =  if ( X  =  Y , 
( phi `  N
) ,  0 ) )
5416, 50, 533eqtr3d 2478 1  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X `  a )  x.  (
* `  ( Y `  a ) ) )  =  if ( X  =  Y ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   ifcif 3786    o. ccom 4839    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313   CCcc 9272   0cc0 9274    x. cmul 9279   NNcn 10314   *ccj 12577   sum_csu 13155   phicphi 13831   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   0gc0g 14370   Grpcgrp 15402   invgcminusg 15403   -gcsg 15405   Abelcabel 16269  ℤ/nczn 17909  DChrcdchr 22546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-disj 4258  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-ec 7095  df-qs 7099  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-phi 13833  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-divs 14439  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-nsg 15670  df-eqg 15671  df-ghm 15736  df-cntz 15826  df-od 16023  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-cring 16636  df-oppr 16703  df-dvdsr 16721  df-unit 16722  df-invr 16752  df-dvr 16763  df-rnghom 16794  df-drng 16812  df-subrg 16841  df-lmod 16928  df-lss 16991  df-lsp 17030  df-sra 17230  df-rgmod 17231  df-lidl 17232  df-rsp 17233  df-2idl 17291  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-zring 17859  df-zrh 17910  df-zn 17913  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317  df-log 21983  df-cxp 21984  df-dchr 22547
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator