MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem4 Structured version   Unicode version

Theorem lgsqrlem4 23597
Description: Lemma for lgsqr 23599. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgsqr.s  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
lgsqr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lgsqr.d  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
lgsqr.o  |-  O  =  (eval1 `  Y )
lgsqr.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
lgsqr.x  |-  X  =  (var1 `  Y )
lgsqr.m  |-  .-  =  ( -g `  S )
lgsqr.u  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lgsqr.t  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
lgsqr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
lgsqr.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgsqr.g  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
lgsqr.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
lgsqr.4  |-  ( ph  ->  ( A  /L
P )  =  1 )
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    y, O    x, y, P    ph, x, y   
y, T    x, L, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( x, y)    D( x, y)    S( x, y)    T( x)    .1. ( x, y)    .^ ( x, y)    G( y)    .- ( x, y)    O( x)    X( x, y)

Proof of Theorem lgsqrlem4
StepHypRef Expression
1 lgsqr.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
2 lgsqr.s . . . . . . 7  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
3 lgsqr.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  S
)
4 lgsqr.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
5 lgsqr.o . . . . . . 7  |-  O  =  (eval1 `  Y )
6 lgsqr.e . . . . . . 7  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
7 lgsqr.x . . . . . . 7  |-  X  =  (var1 `  Y )
8 lgsqr.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  S )
9 lgsqr.u . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
10 lgsqr.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
11 lgsqr.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
12 lgsqr.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
13 lgsqr.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lgsqrlem2 23595 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-> ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
15 fvex 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( O `
 T )  e. 
_V
1615cnvex 6732 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( O `  T )  e.  _V
17 imaexg 6722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( O `  T
)  e.  _V  ->  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } )  e. 
_V )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  _V
1918f1dom 7539 . . . . . . . . 9  |-  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  ->  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  ~<_  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
2014, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~<_  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) )
21 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
22 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
2312eldifad 3473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
241znfld 18577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
26 fldidom 17933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e. IDomn )
28 isidom 17932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
2928simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e.  CRing )
3027, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
31 crngring 17188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
332ply1ring 18268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  Ring  ->  S  e. 
Ring )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
35 ringgrp 17182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Grp )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
37 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
3837ringmgp 17183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  Ring  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
3934, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
40 oddprm 14321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
4112, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
4241nnnn0d 10859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
437, 2, 3vr1cl 18237 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  Ring  ->  X  e.  B )
4432, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
4537, 3mgpbas 17126 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  S ) )
4645, 6mulgnn0cl 16137 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (mulGrp `  S )  e.  Mnd  /\  ( ( P  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )  e.  B )
4739, 42, 44, 46syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B )
483, 9ringidcl 17198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
4934, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  .1.  e.  B )
503, 8grpsubcl 16097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B  /\  .1.  e.  B )  -> 
( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
5136, 47, 49, 50syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
5210, 51syl5eqel 2535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
5310fveq2i 5859 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D `
 T )  =  ( D `  (
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  .-  .1.  )
)
5441nngt0d 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
55 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (algSc `  S )  =  (algSc `  S )
56 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
572, 55, 56, 9ply1scl1 18312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
5832, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( (algSc `  S
) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
5958fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( D `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  ( D `  .1.  ) )
60 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
6160, 56ringidcl 17198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Y )  e.  ( Base `  Y
) )
6232, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  ( Base `  Y ) )
6328simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. Domn )
64 domnnzr 17923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  e. Domn  ->  Y  e. NzRing )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. NzRing )
6627, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Y  e. NzRing )
6756, 21nzrnz 17887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Y  e. NzRing  ->  ( 1r `  Y )  =/=  ( 0g `  Y ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  =/=  ( 0g
`  Y ) )
694, 2, 60, 55, 21deg1scl 22492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( 1r `  Y )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( 1r `  Y )  =/=  ( 0g `  Y ) )  ->  ( D `  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  0 )
7032, 62, 68, 69syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( D `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  0 )
7159, 70eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D `  .1.  )  =  0 )
724, 2, 7, 37, 6deg1pw 22499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Y  e. NzRing  /\  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( D `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )
)  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
7366, 42, 72syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )
)  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
7454, 71, 733brtr4d 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  .1.  )  <  ( D `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) )
752, 4, 32, 3, 8, 47, 49, 74deg1sub 22487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( D `  (
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  .-  .1.  )
)  =  ( D `
 ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X ) ) )
7653, 75syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( D `  T
)  =  ( D `
 ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X ) ) )
7776, 73eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D `  T
)  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
7877, 42eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D `  T
)  e.  NN0 )
794, 2, 22, 3deg1nn0clb 22468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  T  e.  B )  ->  ( T  =/=  ( 0g `  S )  <->  ( D `  T )  e.  NN0 ) )
8032, 52, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( T  =/=  ( 0g `  S )  <->  ( D `  T )  e.  NN0 ) )
8178, 80mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  =/=  ( 0g
`  S ) )
822, 3, 4, 5, 21, 22, 27, 52, 81fta1g 22546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( D `  T ) )
8382, 77breqtrd 4461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
84 hashfz1 12401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
8542, 84syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
8683, 85breqtrrd 4463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( # `  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
8718a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  _V )
88 hashbnd 12393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  _V  /\  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  ( # `
 ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) )  <_  (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ->  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } )  e.  Fin )
8987, 42, 83, 88syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  Fin )
90 fzfid 12065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  Fin )
91 hashdom 12429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  Fin  /\  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )  <_ 
( # `  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  <-> 
( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )
9289, 90, 91syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( # `  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  <-> 
( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )
9386, 92mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )
94 sbth 7639 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~<_  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } )  /\  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  ->  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ~~  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
9520, 93, 94syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~~  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
96 f1finf1o 7748 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~~  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  /\  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } )  e. 
Fin )  ->  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  <->  G :
( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } ) ) )
9795, 89, 96syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
-1-1-> ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  <-> 
G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) ) )
9814, 97mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
99 f1ocnv 5818 . . . . 5  |-  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ->  `' G :
( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
100 f1of 5806 . . . . 5  |-  ( `' G : ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) -1-1-onto-> ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ->  `' G : ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) --> ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
10198, 99, 1003syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' G : ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) --> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
102 lgsqr.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
103 lgsqr.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  /L
P )  =  1 )
1041, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 102, 103lgsqrlem3 23596 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
105101, 104ffvelrnd 6017 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' G `  ( L `  A ) )  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
106 elfzelz 11699 . . 3  |-  ( ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ZZ )
107105, 106syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' G `  ( L `  A ) )  e.  ZZ )
108 oveq1 6288 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 ) )
109108fveq2d 5860 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  ( L `  ( x ^ 2 ) )  =  ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) ) )
110 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
111110fveq2d 5860 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( L `  ( y ^ 2 ) )  =  ( L `  ( x ^ 2 ) ) )
112111cbvmptv 4528 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( y ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( x ^ 2 ) ) )
11313, 112eqtri 2472 . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
x ^ 2 ) ) )
114 fvex 5866 . . . . . 6  |-  ( L `
 ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 ) )  e.  _V
115109, 113, 114fvmpt 5941 . . . . 5  |-  ( ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `  A ) ) )  =  ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) ) )
116105, 115syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `
 A ) ) )  =  ( L `
 ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 ) ) )
117 f1ocnvfv2 6168 . . . . 5  |-  ( ( G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  /\  ( L `  A )  e.  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } ) )  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `  A ) ) )  =  ( L `  A ) )
11898, 104, 117syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `
 A ) ) )  =  ( L `
 A ) )
119116, 118eqtr3d 2486 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( L `
 A ) )
120 prmnn 14202 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
12123, 120syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
122121nnnn0d 10859 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
123 zsqcl 12220 . . . . 5  |-  ( ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ZZ  ->  (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
124107, 123syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
1251, 11zndvds 18566 . . . 4  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) )  =  ( L `  A )  <-> 
P  ||  ( (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  -  A ) ) )
126122, 124, 102, 125syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) )  =  ( L `  A )  <-> 
P  ||  ( (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  -  A ) ) )
127119, 126mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  -  A ) )
128108oveq1d 6296 . . . 4  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  (
( x ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 )  -  A ) )
129128breq2d 4449 . . 3  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  ( P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A )  <->  P  ||  (
( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 )  -  A ) ) )
130129rspcev 3196 . 2  |-  ( ( ( `' G `  ( L `  A ) )  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 )  -  A ) )  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A ) )
131107, 127, 130syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    \ cdif 3458   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   `'ccnv 4988   "cima 4992   -->wf 5574   -1-1->wf1 5575   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ~~ cen 7515    ~<_ cdom 7516   Fincfn 7518   0cc0 9495   1c1 9496    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810    / cdiv 10213   NNcn 10543   2c2 10592   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   ...cfz 11683   ^cexp 12148   #chash 12387    || cdvds 13968   Primecprime 14199   Basecbs 14614   0gc0g 14819   Mndcmnd 15898   Grpcgrp 16032   -gcsg 16034  .gcmg 16035  mulGrpcmgp 17120   1rcur 17132   Ringcrg 17177   CRingccrg 17178  Fieldcfield 17376  NzRingcnzr 17884  Domncdomn 17907  IDomncidom 17908  algSccascl 17939  var1cv1 18194  Poly1cpl1 18195  eval1ce1 18330   ZRHomczrh 18515  ℤ/nczn 18518   deg1 cdg1 22430    /Lclgs 23547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-ec 7315  df-qs 7319  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-dvds 13969  df-gcd 14127  df-prm 14200  df-phi 14278  df-pc 14343  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-prds 14827  df-pws 14829  df-imas 14887  df-qus 14888  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-mhm 15945  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-mulg 16039  df-subg 16177  df-nsg 16178  df-eqg 16179  df-ghm 16244  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-srg 17137  df-ring 17179  df-cring 17180  df-oppr 17251  df-dvdsr 17269  df-unit 17270  df-invr 17300  df-dvr 17311  df-rnghom 17343  df-drng 17377  df-field 17378  df-subrg 17406  df-lmod 17493  df-lss 17558  df-lsp 17597  df-sra 17797  df-rgmod 17798  df-lidl 17799  df-rsp 17800  df-2idl 17859  df-nzr 17885  df-rlreg 17910  df-domn 17911  df-idom 17912  df-assa 17940  df-asp 17941  df-ascl 17942  df-psr 17984  df-mvr 17985  df-mpl 17986  df-opsr 17988  df-evls 18150  df-evl 18151  df-psr1 18198  df-vr1 18199  df-ply1 18200  df-coe1 18201  df-evl1 18332  df-cnfld 18400  df-zring 18468  df-zrh 18519  df-zn 18522  df-mdeg 22431  df-deg1 22432  df-mon1 22509  df-uc1p 22510  df-q1p 22511  df-r1p 22512  df-lgs 23548
This theorem is referenced by:  lgsqrlem5  23598
  Copyright terms: Public domain W3C validator