MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem4 Structured version   Unicode version

Theorem lgsqrlem4 23340
Description: Lemma for lgsqr 23342. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgsqr.s  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
lgsqr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lgsqr.d  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
lgsqr.o  |-  O  =  (eval1 `  Y )
lgsqr.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
lgsqr.x  |-  X  =  (var1 `  Y )
lgsqr.m  |-  .-  =  ( -g `  S )
lgsqr.u  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lgsqr.t  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
lgsqr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
lgsqr.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgsqr.g  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
lgsqr.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
lgsqr.4  |-  ( ph  ->  ( A  /L
P )  =  1 )
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    y, O    x, y, P    ph, x, y   
y, T    x, L, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( x, y)    D( x, y)    S( x, y)    T( x)    .1. ( x, y)    .^ ( x, y)    G( y)    .- ( x, y)    O( x)    X( x, y)

Proof of Theorem lgsqrlem4
StepHypRef Expression
1 lgsqr.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
2 lgsqr.s . . . . . . 7  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
3 lgsqr.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  S
)
4 lgsqr.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
5 lgsqr.o . . . . . . 7  |-  O  =  (eval1 `  Y )
6 lgsqr.e . . . . . . 7  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
7 lgsqr.x . . . . . . 7  |-  X  =  (var1 `  Y )
8 lgsqr.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  S )
9 lgsqr.u . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
10 lgsqr.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
11 lgsqr.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
12 lgsqr.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
13 lgsqr.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lgsqrlem2 23338 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-> ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
15 fvex 5867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( O `
 T )  e. 
_V
1615cnvex 6721 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( O `  T )  e.  _V
17 imaexg 6711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( O `  T
)  e.  _V  ->  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } )  e. 
_V )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  _V
1918f1dom 7527 . . . . . . . . 9  |-  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  ->  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  ~<_  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
2014, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~<_  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) )
21 eqid 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
22 eqid 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
2312eldifad 3481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
241znfld 18359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
26 fldidom 17718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e. IDomn )
28 isidom 17717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
2928simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e.  CRing )
3027, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
31 crngrng 16989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
332ply1rng 18053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  Ring  ->  S  e. 
Ring )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
35 rnggrp 16984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Grp )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
37 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
3837rngmgp 16985 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  Ring  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
3934, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
40 oddprm 14187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
4112, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
4241nnnn0d 10841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
437, 2, 3vr1cl 18022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  Ring  ->  X  e.  B )
4432, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
4537, 3mgpbas 16930 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  S ) )
4645, 6mulgnn0cl 15951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (mulGrp `  S )  e.  Mnd  /\  ( ( P  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )  e.  B )
4739, 42, 44, 46syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B )
483, 9rngidcl 16999 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
4934, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  .1.  e.  B )
503, 8grpsubcl 15912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B  /\  .1.  e.  B )  -> 
( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
5136, 47, 49, 50syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
5210, 51syl5eqel 2552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
5310fveq2i 5860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D `
 T )  =  ( D `  (
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  .-  .1.  )
)
5441nngt0d 10568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
55 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (algSc `  S )  =  (algSc `  S )
56 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
572, 55, 56, 9ply1scl1 18097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
5832, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( (algSc `  S
) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
5958fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( D `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  ( D `  .1.  ) )
60 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
6160, 56rngidcl 16999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Y )  e.  ( Base `  Y
) )
6232, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  ( Base `  Y ) )
6328simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. Domn )
64 domnnzr 17708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  e. Domn  ->  Y  e. NzRing )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. NzRing )
6627, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Y  e. NzRing )
6756, 21nzrnz 17683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Y  e. NzRing  ->  ( 1r `  Y )  =/=  ( 0g `  Y ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  =/=  ( 0g
`  Y ) )
694, 2, 60, 55, 21deg1scl 22242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( 1r `  Y )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( 1r `  Y )  =/=  ( 0g `  Y ) )  ->  ( D `  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  0 )
7032, 62, 68, 69syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( D `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  0 )
7159, 70eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D `  .1.  )  =  0 )
724, 2, 7, 37, 6deg1pw 22249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Y  e. NzRing  /\  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( D `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )
)  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
7366, 42, 72syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )
)  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
7454, 71, 733brtr4d 4470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  .1.  )  <  ( D `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) )
752, 4, 32, 3, 8, 47, 49, 74deg1sub 22237 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( D `  (
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  .-  .1.  )
)  =  ( D `
 ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X ) ) )
7653, 75syl5eq 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( D `  T
)  =  ( D `
 ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X ) ) )
7776, 73eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D `  T
)  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
7877, 42eqeltrd 2548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D `  T
)  e.  NN0 )
794, 2, 22, 3deg1nn0clb 22218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  T  e.  B )  ->  ( T  =/=  ( 0g `  S )  <->  ( D `  T )  e.  NN0 ) )
8032, 52, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( T  =/=  ( 0g `  S )  <->  ( D `  T )  e.  NN0 ) )
8178, 80mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  =/=  ( 0g
`  S ) )
822, 3, 4, 5, 21, 22, 27, 52, 81fta1g 22296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( D `  T ) )
8382, 77breqtrd 4464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
84 hashfz1 12374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
8542, 84syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
8683, 85breqtrrd 4466 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( # `  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
8718a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  _V )
88 hashbnd 12366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  _V  /\  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  ( # `
 ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) )  <_  (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ->  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } )  e.  Fin )
8987, 42, 83, 88syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  Fin )
90 fzfid 12039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  Fin )
91 hashdom 12402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  Fin  /\  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )  <_ 
( # `  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  <-> 
( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )
9289, 90, 91syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( # `  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  <-> 
( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )
9386, 92mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )
94 sbth 7627 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~<_  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } )  /\  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  ->  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ~~  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
9520, 93, 94syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~~  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
96 f1finf1o 7736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~~  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  /\  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } )  e. 
Fin )  ->  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  <->  G :
( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } ) ) )
9795, 89, 96syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
-1-1-> ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  <-> 
G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) ) )
9814, 97mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
99 f1ocnv 5819 . . . . 5  |-  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ->  `' G :
( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
100 f1of 5807 . . . . 5  |-  ( `' G : ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) -1-1-onto-> ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ->  `' G : ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) --> ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
10198, 99, 1003syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' G : ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) --> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
102 lgsqr.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
103 lgsqr.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  /L
P )  =  1 )
1041, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 102, 103lgsqrlem3 23339 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
105101, 104ffvelrnd 6013 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' G `  ( L `  A ) )  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
106 elfzelz 11677 . . 3  |-  ( ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ZZ )
107105, 106syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' G `  ( L `  A ) )  e.  ZZ )
108 oveq1 6282 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 ) )
109108fveq2d 5861 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  ( L `  ( x ^ 2 ) )  =  ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) ) )
110 oveq1 6282 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
111110fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( L `  ( y ^ 2 ) )  =  ( L `  ( x ^ 2 ) ) )
112111cbvmptv 4531 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( y ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( x ^ 2 ) ) )
11313, 112eqtri 2489 . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
x ^ 2 ) ) )
114 fvex 5867 . . . . . 6  |-  ( L `
 ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 ) )  e.  _V
115109, 113, 114fvmpt 5941 . . . . 5  |-  ( ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `  A ) ) )  =  ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) ) )
116105, 115syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `
 A ) ) )  =  ( L `
 ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 ) ) )
117 f1ocnvfv2 6162 . . . . 5  |-  ( ( G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  /\  ( L `  A )  e.  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } ) )  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `  A ) ) )  =  ( L `  A ) )
11898, 104, 117syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `
 A ) ) )  =  ( L `
 A ) )
119116, 118eqtr3d 2503 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( L `
 A ) )
120 prmnn 14068 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
12123, 120syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
122121nnnn0d 10841 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
123 zsqcl 12193 . . . . 5  |-  ( ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ZZ  ->  (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
124107, 123syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
1251, 11zndvds 18348 . . . 4  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) )  =  ( L `  A )  <-> 
P  ||  ( (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  -  A ) ) )
126122, 124, 102, 125syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) )  =  ( L `  A )  <-> 
P  ||  ( (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  -  A ) ) )
127119, 126mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  -  A ) )
128108oveq1d 6290 . . . 4  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  (
( x ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 )  -  A ) )
129128breq2d 4452 . . 3  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  ( P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A )  <->  P  ||  (
( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 )  -  A ) ) )
130129rspcev 3207 . 2  |-  ( ( ( `' G `  ( L `  A ) )  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 )  -  A ) )  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A ) )
131107, 127, 130syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   E.wrex 2808   _Vcvv 3106    \ cdif 3466   {csn 4020   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   `'ccnv 4991   "cima 4995   -->wf 5575   -1-1->wf1 5576   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    ~~ cen 7503    ~<_ cdom 7504   Fincfn 7506   0cc0 9481   1c1 9482    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794    / cdiv 10195   NNcn 10525   2c2 10574   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ...cfz 11661   ^cexp 12122   #chash 12360    || cdivides 13836   Primecprime 14065   Basecbs 14479   0gc0g 14684   Mndcmnd 15715   Grpcgrp 15716   -gcsg 15719  .gcmg 15720  mulGrpcmgp 16924   1rcur 16936   Ringcrg 16979   CRingccrg 16980  Fieldcfield 17173  NzRingcnzr 17680  Domncdomn 17692  IDomncidom 17693  algSccascl 17724  var1cv1 17979  Poly1cpl1 17980  eval1ce1 18115   ZRHomczrh 18297  ℤ/nczn 18300   deg1 cdg1 22180    /Lclgs 23290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-ofr 6516  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-ec 7303  df-qs 7307  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-dvds 13837  df-gcd 13993  df-prm 14066  df-phi 14144  df-pc 14209  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-prds 14692  df-pws 14694  df-imas 14752  df-divs 14753  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-nsg 15987  df-eqg 15988  df-ghm 16053  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-srg 16941  df-rng 16981  df-cring 16982  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-rnghom 17141  df-drng 17174  df-field 17175  df-subrg 17203  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-sra 17594  df-rgmod 17595  df-lidl 17596  df-rsp 17597  df-2idl 17655  df-nzr 17681  df-rlreg 17695  df-domn 17696  df-idom 17697  df-assa 17725  df-asp 17726  df-ascl 17727  df-psr 17769  df-mvr 17770  df-mpl 17771  df-opsr 17773  df-evls 17935  df-evl 17936  df-psr1 17983  df-vr1 17984  df-ply1 17985  df-coe1 17986  df-evl1 18117  df-cnfld 18185  df-zring 18250  df-zrh 18301  df-zn 18304  df-mdeg 22181  df-deg1 22182  df-mon1 22259  df-uc1p 22260  df-q1p 22261  df-r1p 22262  df-lgs 23291
This theorem is referenced by:  lgsqrlem5  23341
  Copyright terms: Public domain W3C validator