MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem4 Unicode version

Theorem lgsqrlem4 21081
Description: Lemma for lgsqr 21083. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
lgsqr.s  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
lgsqr.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lgsqr.d  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
lgsqr.o  |-  O  =  (eval1 `  Y )
lgsqr.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
lgsqr.x  |-  X  =  (var1 `  Y )
lgsqr.m  |-  .-  =  ( -g `  S )
lgsqr.u  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
lgsqr.t  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
lgsqr.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
lgsqr.1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
lgsqr.g  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
lgsqr.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
lgsqr.4  |-  ( ph  ->  ( A  / L P )  =  1 )
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    y, O    x, y, P    ph, x, y   
y, T    x, L, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( x, y)    D( x, y)    S( x, y)    T( x)    .1. ( x, y)    .^ ( x, y)    G( y)    .- ( x, y)    O( x)    X( x, y)

Proof of Theorem lgsqrlem4
StepHypRef Expression
1 lgsqr.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (ℤ/n `  P )
2 lgsqr.s . . . . . . 7  |-  S  =  (Poly1 `  Y )
3 lgsqr.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  S
)
4 lgsqr.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( deg1  `  Y )
5 lgsqr.o . . . . . . 7  |-  O  =  (eval1 `  Y )
6 lgsqr.e . . . . . . 7  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  S )
)
7 lgsqr.x . . . . . . 7  |-  X  =  (var1 `  Y )
8 lgsqr.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  S )
9 lgsqr.u . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
10 lgsqr.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )
11 lgsqr.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
12 lgsqr.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
13 lgsqr.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
y ^ 2 ) ) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lgsqrlem2 21079 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-> ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
15 fvex 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( O `
 T )  e. 
_V
1615cnvex 5365 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( O `  T )  e.  _V
17 imaexg 5176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( O `  T
)  e.  _V  ->  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } )  e. 
_V )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  _V
1918f1dom 7088 . . . . . . . . 9  |-  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  ->  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  ~<_  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
2014, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~<_  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) )
21 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
22 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
2312eldifad 3292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
241znfld 16796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e. Field )
26 fldidom 16320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e. IDomn )
28 isidom 16319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
2928simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e.  CRing )
3027, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
31 crngrng 15629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
332ply1rng 16597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  Ring  ->  S  e. 
Ring )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
35 rnggrp 15624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Grp )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
37 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
3837rngmgp 15625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  Ring  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
3934, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  S )  e.  Mnd )
40 oddprm 13144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
4112, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
4241nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
437, 2, 3vr1cl 16566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  Ring  ->  X  e.  B )
4432, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
4537, 3mgpbas 15609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  S ) )
4645, 6mulgnn0cl 14861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (mulGrp `  S )  e.  Mnd  /\  ( ( P  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )  e.  B )
4739, 42, 44, 46syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B )
483, 9rngidcl 15639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
4934, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  .1.  e.  B )
503, 8grpsubcl 14824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  e.  B  /\  .1.  e.  B )  -> 
( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
5136, 47, 49, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X )  .-  .1.  )  e.  B )
5210, 51syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
5310fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D `
 T )  =  ( D `  (
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  .-  .1.  )
)
5441nngt0d 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
55 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (algSc `  S )  =  (algSc `  S )
56 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
572, 55, 56, 9ply1scl1 16638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
5832, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( (algSc `  S
) `  ( 1r `  Y ) )  =  .1.  )
5958fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( D `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  ( D `  .1.  ) )
60 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
6160, 56rngidcl 15639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Y )  e.  ( Base `  Y
) )
6232, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  e.  ( Base `  Y ) )
6328simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. Domn )
64 domnnzr 16310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  e. Domn  ->  Y  e. NzRing )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. NzRing )
6627, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Y  e. NzRing )
6756, 21nzrnz 16286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Y  e. NzRing  ->  ( 1r `  Y )  =/=  ( 0g `  Y ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Y
)  =/=  ( 0g
`  Y ) )
694, 2, 60, 55, 21deg1scl 19989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  ( 1r `  Y )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( 1r `  Y )  =/=  ( 0g `  Y ) )  ->  ( D `  ( (algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  0 )
7032, 62, 68, 69syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( D `  (
(algSc `  S ) `  ( 1r `  Y
) ) )  =  0 )
7159, 70eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D `  .1.  )  =  0 )
724, 2, 7, 37, 6deg1pw 19996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Y  e. NzRing  /\  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( D `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )
)  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
7366, 42, 72syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D `  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  .^  X )
)  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
7454, 71, 733brtr4d 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  .1.  )  <  ( D `  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
) ) )
752, 4, 32, 3, 8, 47, 49, 74deg1sub 19984 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( D `  (
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  .^  X
)  .-  .1.  )
)  =  ( D `
 ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X ) ) )
7653, 75syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( D `  T
)  =  ( D `
 ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  .^  X ) ) )
7776, 73eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D `  T
)  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
7877, 42eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D `  T
)  e.  NN0 )
794, 2, 22, 3deg1nn0clb 19966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  T  e.  B )  ->  ( T  =/=  ( 0g `  S )  <->  ( D `  T )  e.  NN0 ) )
8032, 52, 79syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( T  =/=  ( 0g `  S )  <->  ( D `  T )  e.  NN0 ) )
8178, 80mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  =/=  ( 0g
`  S ) )
822, 3, 4, 5, 21, 22, 27, 52, 81fta1g 20043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( D `  T ) )
8382, 77breqtrd 4196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
84 hashfz1 11585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
8542, 84syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
8683, 85breqtrrd 4198 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( # `  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
8718a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  _V )
88 hashbnd 11579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  _V  /\  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  ( # `
 ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) )  <_  (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ->  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } )  e.  Fin )
8987, 42, 83, 88syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  Fin )
90 fzfid 11267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  Fin )
91 hashdom 11608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  e.  Fin  /\  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )  <_ 
( # `  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  <-> 
( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )
9289, 90, 91syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )  <_  ( # `  (
1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  <-> 
( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) ) )
9386, 92mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) )
94 sbth 7186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~<_  ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } )  /\  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  ~<_  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )  ->  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ~~  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } ) )
9520, 93, 94syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~~  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
96 f1finf1o 7294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ~~  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  /\  ( `' ( O `  T ) " {
( 0g `  Y
) } )  e. 
Fin )  ->  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  <->  G :
( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } ) ) )
9795, 89, 96syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
-1-1-> ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  <-> 
G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) ) )
9814, 97mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
99 f1ocnv 5646 . . . . 5  |-  ( G : ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } )  ->  `' G :
( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
100 f1of 5633 . . . . 5  |-  ( `' G : ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) -1-1-onto-> ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  ->  `' G : ( `' ( O `  T )
" { ( 0g
`  Y ) } ) --> ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
10198, 99, 1003syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' G : ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) --> ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
102 lgsqr.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
103 lgsqr.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  / L P )  =  1 )
1041, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 102, 103lgsqrlem3 21080 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } ) )
105101, 104ffvelrnd 5830 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' G `  ( L `  A ) )  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) )
106 elfzelz 11015 . . 3  |-  ( ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ZZ )
107105, 106syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' G `  ( L `  A ) )  e.  ZZ )
108 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 ) )
109108fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  ( L `  ( x ^ 2 ) )  =  ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) ) )
110 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
111110fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( L `  ( y ^ 2 ) )  =  ( L `  ( x ^ 2 ) ) )
112111cbvmptv 4260 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  |->  ( L `
 ( y ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... (
( P  -  1 )  /  2 ) )  |->  ( L `  ( x ^ 2 ) ) )
11313, 112eqtri 2424 . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  ( 1 ... ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) 
|->  ( L `  (
x ^ 2 ) ) )
114 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( L `
 ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 ) )  e.  _V
115109, 113, 114fvmpt 5765 . . . . 5  |-  ( ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ( 1 ... ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `  A ) ) )  =  ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) ) )
116105, 115syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `
 A ) ) )  =  ( L `
 ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 ) ) )
117 f1ocnvfv2 5974 . . . . 5  |-  ( ( G : ( 1 ... ( ( P  -  1 )  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( `' ( O `  T
) " { ( 0g `  Y ) } )  /\  ( L `  A )  e.  ( `' ( O `
 T ) " { ( 0g `  Y ) } ) )  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `  A ) ) )  =  ( L `  A ) )
11898, 104, 117syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  ( `' G `  ( L `
 A ) ) )  =  ( L `
 A ) )
119116, 118eqtr3d 2438 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( L `
 A ) )
120 prmnn 13037 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
12123, 120syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
122121nnnn0d 10230 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
123 zsqcl 11407 . . . . 5  |-  ( ( `' G `  ( L `
 A ) )  e.  ZZ  ->  (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
124107, 123syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
1251, 11zndvds 16785 . . . 4  |-  ( ( P  e.  NN0  /\  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) )  =  ( L `  A )  <-> 
P  ||  ( (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  -  A ) ) )
126122, 124, 102, 125syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( L `  ( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 ) )  =  ( L `  A )  <-> 
P  ||  ( (
( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  -  A ) ) )
127119, 126mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( `' G `  ( L `  A ) ) ^ 2 )  -  A ) )
128108oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  (
( x ^ 2 )  -  A )  =  ( ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 )  -  A ) )
129128breq2d 4184 . . 3  |-  ( x  =  ( `' G `  ( L `  A
) )  ->  ( P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A )  <->  P  ||  (
( ( `' G `  ( L `  A
) ) ^ 2 )  -  A ) ) )
130129rspcev 3012 . 2  |-  ( ( ( `' G `  ( L `  A ) )  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( ( `' G `  ( L `
 A ) ) ^ 2 )  -  A ) )  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A ) )
131107, 127, 130syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   "cima 4840   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ~~ cen 7065    ~<_ cdom 7066   Fincfn 7068   0cc0 8946   1c1 8947    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ...cfz 10999   ^cexp 11337   #chash 11573    || cdivides 12807   Primecprime 13034   Basecbs 13424   0gc0g 13678   Mndcmnd 14639   Grpcgrp 14640   -gcsg 14643  .gcmg 14644  mulGrpcmgp 15603   Ringcrg 15615   CRingccrg 15616   1rcur 15617  Fieldcfield 15791  NzRingcnzr 16283  Domncdomn 16295  IDomncidom 16296  algSccascl 16326  var1cv1 16525  Poly1cpl1 16526  eval1ce1 16528   ZRHomczrh 16733  ℤ/nczn 16736   deg1 cdg1 19930    / Lclgs 21031
This theorem is referenced by:  lgsqrlem5  21082
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-phi 13110  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-pws 13628  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-imas 13689  df-divs 13690  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-field 15793  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-nzr 16284  df-rlreg 16298  df-domn 16299  df-idom 16300  df-assa 16327  df-asp 16328  df-ascl 16329  df-psr 16372  df-mvr 16373  df-mpl 16374  df-evls 16375  df-evl 16376  df-opsr 16380  df-psr1 16531  df-vr1 16532  df-ply1 16533  df-evl1 16535  df-coe1 16536  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740  df-mdeg 19931  df-deg1 19932  df-mon1 20006  df-uc1p 20007  df-q1p 20008  df-r1p 20009  df-lgs 21032
  Copyright terms: Public domain W3C validator