Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsmulg 17410
 Description: Value of a group multiple in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsmulg.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsmulg.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsmulg.s = (.g𝑌)
pwsmulg.t · = (.g𝑅)
Assertion
Ref Expression
pwsmulg (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑁 𝑋)‘𝐴) = (𝑁 · (𝑋𝐴)))

Proof of Theorem pwsmulg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 786 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝑅 ∈ Mnd)
2 simplr 788 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝐼𝑉)
3 simpr3 1062 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝐴𝐼)
4 pwsmulg.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
5 pwsmulg.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
64, 5pwspjmhm 17191 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
71, 2, 3, 6syl3anc 1318 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
8 simpr1 1060 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9 simpr2 1061 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝑋𝐵)
10 pwsmulg.s . . . 4 = (.g𝑌)
11 pwsmulg.t . . . 4 · = (.g𝑅)
125, 10, 11mhmmulg 17406 . . 3 (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁 · ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋)))
137, 8, 9, 12syl3anc 1318 . 2 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁 · ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋)))
144pwsmnd 17148 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ Mnd)
1514adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → 𝑌 ∈ Mnd)
165, 10mulgnn0cl 17381 . . . 4 ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 𝑋) ∈ 𝐵)
1715, 8, 9, 16syl3anc 1318 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → (𝑁 𝑋) ∈ 𝐵)
18 fveq1 6102 . . . 4 (𝑥 = (𝑁 𝑋) → (𝑥𝐴) = ((𝑁 𝑋)‘𝐴))
19 eqid 2610 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))
20 fvex 6113 . . . 4 ((𝑁 𝑋)‘𝐴) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 6191 . . 3 ((𝑁 𝑋) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = ((𝑁 𝑋)‘𝐴))
2217, 21syl 17 . 2 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = ((𝑁 𝑋)‘𝐴))
23 fveq1 6102 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐴) = (𝑋𝐴))
24 fvex 6113 . . . . 5 (𝑋𝐴) ∈ V
2523, 19, 24fvmpt 6191 . . . 4 (𝑋𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋) = (𝑋𝐴))
269, 25syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋) = (𝑋𝐴))
2726oveq2d 6565 . 2 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → (𝑁 · ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋)) = (𝑁 · (𝑋𝐴)))
2813, 22, 273eqtr3d 2652 1 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝐴𝐼)) → ((𝑁 𝑋)‘𝐴) = (𝑁 · (𝑋𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695   ↑s cpws 15930  Mndcmnd 17117   MndHom cmhm 17156  .gcmg 17363 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-mulg 17364 This theorem is referenced by:  evl1expd  19530
 Copyright terms: Public domain W3C validator