MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmulg Structured version   Unicode version

Theorem pwsmulg 16056
Description: Value of a group multiple in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgrp.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsinvg.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
pwsmulg.s  |-  .xb  =  (.g
`  Y )
pwsmulg.t  |-  .x.  =  (.g
`  R )
Assertion
Ref Expression
pwsmulg  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  (
( N  .xb  X
) `  A )  =  ( N  .x.  ( X `  A ) ) )

Proof of Theorem pwsmulg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  R  e.  Mnd )
2 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  I  e.  V )
3 simpr3 1004 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  A  e.  I )
4 pwsgrp.y . . . . 5  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
5 pwsinvg.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
64, 5pwspjmhm 15871 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  R ) )
71, 2, 3, 6syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x `  A ) )  e.  ( Y MndHom  R ) )
8 simpr1 1002 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  N  e.  NN0 )
9 simpr2 1003 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  X  e.  B )
10 pwsmulg.s . . . 4  |-  .xb  =  (.g
`  Y )
11 pwsmulg.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  R )
125, 10, 11mhmmulg 16046 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  R )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  ( N  .xb  X ) )  =  ( N  .x.  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  X ) ) )
137, 8, 9, 12syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  ( N  .xb  X ) )  =  ( N  .x.  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  X ) ) )
144pwsmnd 15828 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  Y  e.  Mnd )
1514adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  Y  e.  Mnd )
165, 10mulgnn0cl 16030 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .xb  X )  e.  B )
1715, 8, 9, 16syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  ( N  .xb  X )  e.  B )
18 fveq1 5871 . . . 4  |-  ( x  =  ( N  .xb  X )  ->  (
x `  A )  =  ( ( N 
.xb  X ) `  A ) )
19 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) )
20 fvex 5882 . . . 4  |-  ( ( N  .xb  X ) `  A )  e.  _V
2118, 19, 20fvmpt 5957 . . 3  |-  ( ( N  .xb  X )  e.  B  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( N 
.xb  X ) )  =  ( ( N 
.xb  X ) `  A ) )
2217, 21syl 16 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  ( N  .xb  X ) )  =  ( ( N 
.xb  X ) `  A ) )
23 fveq1 5871 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x `  A )  =  ( X `  A ) )
24 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( X `
 A )  e. 
_V
2523, 19, 24fvmpt 5957 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  X
)  =  ( X `
 A ) )
269, 25syl 16 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  X
)  =  ( X `
 A ) )
2726oveq2d 6311 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  ( N  .x.  ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 X ) )  =  ( N  .x.  ( X `  A ) ) )
2813, 22, 273eqtr3d 2516 1  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  (
( N  .xb  X
) `  A )  =  ( N  .x.  ( X `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   NN0cn0 10807   Basecbs 14507    ^s cpws 14719   Mndcmnd 15793   MndHom cmhm 15837  .gcmg 15928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-seq 12088  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-mulg 15932
This theorem is referenced by:  evl1expd  18251
  Copyright terms: Public domain W3C validator