MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmulg Structured version   Unicode version

Theorem pwsmulg 15674
Description: Value of a group multiple in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgrp.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsinvg.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
pwsmulg.s  |-  .xb  =  (.g
`  Y )
pwsmulg.t  |-  .x.  =  (.g
`  R )
Assertion
Ref Expression
pwsmulg  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  (
( N  .xb  X
) `  A )  =  ( N  .x.  ( X `  A ) ) )

Proof of Theorem pwsmulg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  R  e.  Mnd )
2 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  I  e.  V )
3 simpr3 996 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  A  e.  I )
4 pwsgrp.y . . . . 5  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
5 pwsinvg.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
64, 5pwspjmhm 15501 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  R ) )
71, 2, 3, 6syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x `  A ) )  e.  ( Y MndHom  R ) )
8 simpr1 994 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  N  e.  NN0 )
9 simpr2 995 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  X  e.  B )
10 pwsmulg.s . . . 4  |-  .xb  =  (.g
`  Y )
11 pwsmulg.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  R )
125, 10, 11mhmmulg 15664 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  R )  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  ( N  .xb  X ) )  =  ( N  .x.  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  X ) ) )
137, 8, 9, 12syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  ( N  .xb  X ) )  =  ( N  .x.  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  X ) ) )
144pwsmnd 15461 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  Y  e.  Mnd )
1514adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  Y  e.  Mnd )
165, 10mulgnn0cl 15648 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .xb  X )  e.  B )
1715, 8, 9, 16syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  ( N  .xb  X )  e.  B )
18 fveq1 5695 . . . 4  |-  ( x  =  ( N  .xb  X )  ->  (
x `  A )  =  ( ( N 
.xb  X ) `  A ) )
19 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) )
20 fvex 5706 . . . 4  |-  ( ( N  .xb  X ) `  A )  e.  _V
2118, 19, 20fvmpt 5779 . . 3  |-  ( ( N  .xb  X )  e.  B  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x `  A ) ) `  ( N 
.xb  X ) )  =  ( ( N 
.xb  X ) `  A ) )
2217, 21syl 16 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  ( N  .xb  X ) )  =  ( ( N 
.xb  X ) `  A ) )
23 fveq1 5695 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x `  A )  =  ( X `  A ) )
24 fvex 5706 . . . . 5  |-  ( X `
 A )  e. 
_V
2523, 19, 24fvmpt 5779 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  X
)  =  ( X `
 A ) )
269, 25syl 16 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x `  A
) ) `  X
)  =  ( X `
 A ) )
2726oveq2d 6112 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  ( N  .x.  ( ( x  e.  B  |->  ( x `
 A ) ) `
 X ) )  =  ( N  .x.  ( X `  A ) ) )
2813, 22, 273eqtr3d 2483 1  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  X  e.  B  /\  A  e.  I
) )  ->  (
( N  .xb  X
) `  A )  =  ( N  .x.  ( X `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    e. cmpt 4355   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   NN0cn0 10584   Basecbs 14179    ^s cpws 14390   Mndcmnd 15414  .gcmg 15419   MndHom cmhm 15467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-fz 11443  df-seq 11812  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-hom 14267  df-cco 14268  df-0g 14385  df-prds 14391  df-pws 14393  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-mulg 15553
This theorem is referenced by:  evl1expd  17784
  Copyright terms: Public domain W3C validator