MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndidcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndidcl 17131
Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mndidcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndidcl.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndidcl (𝐺 ∈ Mnd → 0𝐵)

Proof of Theorem mndidcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndidcl.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mndidcl.o . 2 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2610 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
41, 3mndid 17126 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦))
51, 2, 3, 4mgmidcl 17088 1 (𝐺 ∈ Mnd → 0𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Mndcmnd 17117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118
This theorem is referenced by:  mndpfo  17137  prdsidlem  17145  imasmnd  17151  idmhm  17167  mhmf1o  17168  issubmd  17172  submid  17174  0mhm  17181  mhmco  17185  mhmeql  17187  submacs  17188  mrcmndind  17189  prdspjmhm  17190  pwsdiagmhm  17192  pwsco1mhm  17193  pwsco2mhm  17194  gsumvallem2  17195  dfgrp2  17270  grpidcl  17273  mhmid  17359  mhmmnd  17360  mulgnn0cl  17381  mulgnn0z  17390  cntzsubm  17591  oppgmnd  17607  gex1  17829  mulgnn0di  18054  mulgmhm  18056  subcmn  18065  gsumval3  18131  gsumzcl2  18134  gsumzaddlem  18144  gsumzsplit  18150  gsumzmhm  18160  gsummpt1n0  18187  srgidcl  18341  srg0cl  18342  ringidcl  18391  gsummgp0  18431  pwssplit1  18880  dsmm0cl  19903  dsmmacl  19904  mndvlid  20018  mndvrid  20019  mdet0  20231  mndifsplit  20261  gsummatr01lem3  20282  pmatcollpw3fi1lem1  20410  tmdmulg  21706  tmdgsum  21709  tsms0  21755  tsmssplit  21765  tsmsxp  21768  submomnd  29041  omndmul2  29043  omndmul3  29044  omndmul  29045  ogrpinv0le  29047  slmdbn0  29092  slmdsn0  29095  slmd0vcl  29105  gsumle  29110  sibf0  29723  sitmcl  29740  pwssplit4  36677  c0mgm  41699  c0mhm  41700  c0snmgmhm  41704  c0snmhm  41705  mgpsumz  41934  mndpsuppss  41946  lco0  42010
  Copyright terms: Public domain W3C validator