MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndidcl Structured version   Unicode version

Theorem mndidcl 16137
Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mndidcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndidcl.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
mndidcl  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )

Proof of Theorem mndidcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndidcl.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mndidcl.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2454 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
41, 3mndid 16132 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  G
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  G
) x )  =  y ) )
51, 2, 3, 4mgmidcl 16091 1  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   0gc0g 14929   Mndcmnd 16118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120
This theorem is referenced by:  mndpfo  16143  prdsidlem  16151  imasmnd  16157  idmhm  16174  mhmf1o  16175  issubmd  16179  submid  16181  0mhm  16188  mhmco  16192  mhmeql  16194  submacs  16195  mrcmndind  16196  prdspjmhm  16197  pwsdiagmhm  16199  pwsco1mhm  16200  pwsco2mhm  16201  gsumvallem2  16202  grpidcl  16277  mulgnn0cl  16357  mulgnn0z  16361  mhmid  16390  mhmmnd  16391  cntzsubm  16572  oppgmnd  16588  gex1  16810  mulgnn0di  17033  mulgmhm  17035  subcmn  17044  gsumval3OLD  17107  gsumval3  17110  gsumzcl2  17114  gsumzclOLD  17118  gsumzaddlem  17133  gsumzaddlemOLD  17135  gsumzsplit  17143  gsumzsplitOLD  17144  gsumzmhm  17155  gsumzmhmOLD  17156  gsummpt1n0  17188  srgidcl  17364  srg0cl  17365  ringidcl  17414  gsummgp0  17451  pwssplit1  17900  dsmm0cl  18944  dsmmacl  18945  mndvlid  19062  mndvrid  19063  mdet0  19275  mndifsplit  19305  gsummatr01lem3  19326  pmatcollpw3fi1lem1  19454  tmdmulg  20757  tmdgsum  20760  tsms0  20809  tsmssplit  20820  tsmsxp  20823  submomnd  27934  omndmul2  27936  omndmul3  27937  omndmul  27938  ogrpinv0le  27940  slmdbn0  27985  slmdsn0  27988  slmd0vcl  27998  gsumle  28004  sibf0  28540  pwssplit4  31274  c0mgm  32969  c0mhm  32970  c0snmgmhm  32974  c0snmhm  32975  mgpsumz  33206  mndpsuppss  33218  lco0  33282
  Copyright terms: Public domain W3C validator