MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndidcl Structured version   Unicode version

Theorem mndidcl 15431
Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mndidcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndidcl.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
mndidcl  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )

Proof of Theorem mndidcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndidcl.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mndidcl.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2438 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
41, 3mndid 15414 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x ( +g  `  G
) y )  =  y  /\  ( y ( +g  `  G
) x )  =  y ) )
51, 2, 3, 4mgmidcl 15428 1  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5413   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   0gc0g 14370   Mndcmnd 15401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-0g 14372  df-mnd 15407
This theorem is referenced by:  mndfo  15437  prdsidlem  15445  imasmnd  15451  issubmd  15468  submid  15470  0mhm  15477  mhmco  15481  mhmeql  15483  submacs  15484  mrcmndind  15485  prdspjmhm  15486  pwsdiagmhm  15488  pwsco1mhm  15489  pwsco2mhm  15490  gsumvallem2  15492  grpidcl  15557  mulgnn0cl  15634  mulgnn0z  15638  cntzsubm  15844  oppgmnd  15860  gex1  16081  mulgnn0di  16304  mulgmhm  16306  subcmn  16312  gsumval3OLD  16373  gsumval3  16376  gsumzcl2  16380  gsumzclOLD  16384  gsumzaddlem  16399  gsumzaddlemOLD  16401  gsumzsplit  16409  gsumzsplitOLD  16410  gsumzmhm  16420  gsumzmhmOLD  16421  gsummptif1n0  16445  srgidcl  16607  srg0cl  16608  rngidcl  16653  gsummgp0  16687  pwssplit1  17117  dsmm0cl  18140  dsmmacl  18141  mndvlid  18268  mndvrid  18269  mndifsplit  18417  gsummatr01lem3  18438  tmdmulg  19638  tmdgsum  19641  tsms0  19690  tsmssplit  19701  tsmsxp  19704  submomnd  26124  omndmul2  26126  omndmul3  26127  omndmul  26128  ogrpinv0le  26130  slmdbn0  26175  slmdsn0  26178  slmd0vcl  26188  gsumle  26197  sibf0  26672  pwssplit4  29395  mgpsumz  30711  mndpsuppss  30735  mdet0  30822  lco0  30850
  Copyright terms: Public domain W3C validator