Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmdmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmdmulg 21706
 Description: In a topological monoid, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpmulg.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpmulg.t · = (.g𝐺)
tgpmulg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
tmdmulg ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥, ·   𝑥,𝑁

Proof of Theorem tmdmulg
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
2 tgpmulg.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2610 . . . . . . . 8 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 tgpmulg.t . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
52, 3, 4mulg0 17369 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 → (0 · 𝑥) = (0g𝐺))
61, 5sylan9eq 2664 . . . . . 6 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥𝐵) → (𝑛 · 𝑥) = (0g𝐺))
76mpteq2dva 4672 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)))
87eleq1d 2672 . . . 4 (𝑛 = 0 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
98imbi2d 329 . . 3 (𝑛 = 0 → ((𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ↔ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))))
10 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑥))
1110mpteq2dv 4673 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)))
1211eleq1d 2672 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
1312imbi2d 329 . . 3 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ↔ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))))
14 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑥))
1514mpteq2dv 4673 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)))
1615eleq1d 2672 . . . 4 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
1716imbi2d 329 . . 3 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ↔ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))))
18 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
1918mpteq2dv 4673 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)))
2019eleq1d 2672 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
2120imbi2d 329 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ↔ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))))
22 tgpmulg.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
2322, 2tmdtopon 21695 . . . 4 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
24 tmdmnd 21689 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
252, 3mndidcl 17131 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
2624, 25syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ TopMnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
2723, 23, 26cnmptc 21275 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (0g𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
28 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 + 1) · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑦))
2928cbvmptv 4678 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦))
30 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝐺) = (+g𝐺)
312, 4, 30mulgnn0p1 17375 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑦𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦))
3224, 31syl3an1 1351 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑦𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦))
33323expa 1257 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦))
3433adantlr 747 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦))
3534mpteq2dva 4672 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦)))
3629, 35syl5eq 2656 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦)))
37 simpll 786 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐺 ∈ TopMnd)
3837, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
39 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑦))
4039cbvmptv 4678 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦))
41 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4240, 41syl5eqelr 2693 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4338cnmptid 21274 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4422, 30, 37, 38, 42, 43cnmpt1plusg 21701 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g𝐺)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4536, 44eqeltrd 2688 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4645ex 449 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
4746expcom 450 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺 ∈ TopMnd → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))))
4847a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))))
499, 13, 17, 21, 27, 48nn0ind 11348 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
5049impcom 445 1 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  TopOpenctopn 15905  0gc0g 15923  Mndcmnd 17117  .gcmg 17363  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838  TopMndctmd 21684 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-plusf 17064  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mulg 17364  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-tmd 21686 This theorem is referenced by:  tgpmulg  21707
 Copyright terms: Public domain W3C validator