Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idmhm 17167
 Description: The identity homomorphism on a monoid. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
idmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
idmhm (𝑀 ∈ Mnd → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MndHom 𝑀))

Proof of Theorem idmhm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → 𝑀 ∈ Mnd)
21ancri 573 . 2 (𝑀 ∈ Mnd → (𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd))
3 f1oi 6086 . . . 4 ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵
4 f1of 6050 . . . 4 (( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
53, 4mp1i 13 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
6 idmhm.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
7 eqid 2610 . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (+g𝑀)
86, 7mndcl 17124 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
983expb 1258 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
10 fvresi 6344 . . . . . 6 ((𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
12 fvresi 6344 . . . . . . 7 (𝑎𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑎) = 𝑎)
13 fvresi 6344 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑏) = 𝑏)
1412, 13oveqan12d 6568 . . . . . 6 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
1514adantl 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
1611, 15eqtr4d 2647 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
1716ralrimivva 2954 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)))
18 eqid 2610 . . . . 5 (0g𝑀) = (0g𝑀)
196, 18mndidcl 17131 . . . 4 (𝑀 ∈ Mnd → (0g𝑀) ∈ 𝐵)
20 fvresi 6344 . . . 4 ((0g𝑀) ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀))
2119, 20syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → (( I ↾ 𝐵)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀))
225, 17, 213jca 1235 . 2 (𝑀 ∈ Mnd → (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) ∧ (( I ↾ 𝐵)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀)))
236, 6, 7, 7, 18, 18ismhm 17160 . 2 (( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MndHom 𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ Mnd) ∧ (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (( I ↾ 𝐵)‘(𝑎(+g𝑀)𝑏)) = ((( I ↾ 𝐵)‘𝑎)(+g𝑀)(( I ↾ 𝐵)‘𝑏)) ∧ (( I ↾ 𝐵)‘(0g𝑀)) = (0g𝑀))))
242, 22, 23sylanbrc 695 1 (𝑀 ∈ Mnd → ( I ↾ 𝐵) ∈ (𝑀 MndHom 𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   I cid 4948   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Mndcmnd 17117   MndHom cmhm 17156 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158 This theorem is referenced by:  idrhm  18554
 Copyright terms: Public domain W3C validator