Theorem f1oi 6086

Description: A restriction of the identity relation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1oi	⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴

Proof of Theorem f1oi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresi 5922	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
2		cnvresid 5882	. . . 4 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
3	2	fneq1i 5899	. . 3 ⊢ (◡( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴)
4	1, 3	mpbir 220	. 2 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴
5		dff1o4 6058	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴 ∧ ◡( I ↾ 𝐴) Fn 𝐴))
6	1, 4, 5	mpbir2an 957	1 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴

Syntax hints:   I cid 4948  ^◡ccnv 5037   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  –1-1-onto→wf1o 5803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811

This theorem is referenced by:  f1ovi  6087  fveqf1o  6457  isoid  6479  enrefg  7873  ssdomg  7887  hartogslem1  8330  wdomref  8360  infxpenc  8724  pwfseqlem5  9364  dfle2  11856  fproddvdsd  14897  wunndx  15711  idfucl  16364  idffth  16416  ressffth  16421  setccatid  16557  estrccatid  16595  funcestrcsetclem7  16609  funcestrcsetclem8  16610  equivestrcsetc  16615  funcsetcestrclem7  16624  funcsetcestrclem8  16625  idmhm  17167  idghm  17498  symggrp  17643  symgid  17644  idresperm  17652  islinds2  19971  lindfres  19981  lindsmm  19986  mdetunilem9  20245  ssidcn  20869  resthauslem  20977  sshauslem  20986  hausdiag  21258  idqtop  21319  fmid  21574  iducn  21897  mbfid  23209  dvid  23487  dvexp  23522  wilthlem2  24595  wilthlem3  24596  idmot  25232  ausisusgra  25884  cusgraexilem2  25996  sizeusglecusglem1  26012  hoif  27997  idunop  28221  idcnop  28224  elunop2  28256  fcobijfs  28889  qqhre  29392  rrhre  29393  subfacp1lem4  30419  subfacp1lem5  30420  poimirlem15  32594  poimirlem22  32601  idlaut  34400  tendoidcl  35075  tendo0co2  35094  erng1r  35301  dvalveclem  35332  dva0g  35334  dvh0g  35418  mzpresrename  36331  eldioph2lem1  36341  eldioph2lem2  36342  diophren  36395  kelac2  36653  lnrfg  36708  ausgrusgrb  40395  upgrres1  40532  umgrres1  40533  usgrres1  40534  usgrexi  40661  sizusglecusglem1  40677  idmgmhm  41578  funcringcsetcALTV2lem8  41835  funcringcsetclem8ALTV  41858