Theorem mndvrid 20019

Description: Tuple-wise right identity in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
mndvcl.p	⊢ + = (+g‘𝑀)
mndvlid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mndvrid	⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → (𝑋 ∘𝑓 + (𝐼 × { 0 })) = 𝑋)

Proof of Theorem mndvrid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 7764	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
2	1	simprd 478	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
4		elmapi 7765	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
6		mndvcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
7		mndvlid.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
8	6, 7	mndidcl 17131	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → 0 ∈ 𝐵)
10		mndvcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
11	6, 10, 7	mndrid 17135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
12	11	adantlr 747	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
13	3, 5, 9, 12	caofid0r 6824	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼)) → (𝑋 ∘𝑓 + (𝐼 × { 0 })) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793   ↑_𝑚 cmap 7744  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  0_gc0g 15923  Mndcmnd 17117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118

This theorem is referenced by: (None)