Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpvlinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpvlinv 20020
 Description: Tuple-wise left inverse in groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpvlinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpvlinv.p + = (+g𝐺)
grpvlinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
grpvlinv.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpvlinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → ((𝑁𝑋) ∘𝑓 + 𝑋) = (𝐼 × { 0 }))

Proof of Theorem grpvlinv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapex 7764 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
21simprd 478 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
32adantl 481 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
4 elmapi 7765 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝑋:𝐼𝐵)
54adantl 481 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑋:𝐼𝐵)
6 grpvlinv.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 grpvlinv.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
86, 7grpidcl 17273 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
98adantr 480 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 0𝐵)
10 grpvlinv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
116, 10grpinvf 17289 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)
1211adantr 480 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑁:𝐵𝐵)
13 fcompt 6306 . . 3 ((𝑁:𝐵𝐵𝑋:𝐼𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
1411, 4, 13syl2an 493 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑁𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝑋𝑥))))
15 grpvlinv.p . . . 4 + = (+g𝐺)
166, 15, 7, 10grplinv 17291 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑁𝑦) + 𝑦) = 0 )
1716adantlr 747 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑁𝑦) + 𝑦) = 0 )
183, 5, 9, 12, 14, 17caofinvl 6822 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → ((𝑁𝑋) ∘𝑓 + 𝑋) = (𝐼 × { 0 }))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   ↑𝑚 cmap 7744  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249 This theorem is referenced by:  mendring  36781
 Copyright terms: Public domain W3C validator