Theorem elmapex 7764

Description: Eliminate antecedent for mapping theorems: domain can be taken to be a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapex	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))

Proof of Theorem elmapex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3879	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → ¬ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) = ∅)
2		fnmap 7751	. . . 4 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
3		fndm 5904	. . . 4 ⊢ ( ↑𝑚 Fn (V × V) → dom ↑𝑚 = (V × V))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ dom ↑𝑚 = (V × V)
5	4	ndmov 6716	. 2 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐵 ↑𝑚 𝐶) = ∅)
6	1, 5	nsyl2 141	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874   × cxp 5036  dom cdm 5038   Fn wfn 5799  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746

This theorem is referenced by:  elmapi  7765  elmapssres  7768  mapsspm  7777  mapss  7786  ralxpmap  7793  mapdom1  8010  wemapwe  8477  isf34lem6  9085  mndvcl  20016  mndvass  20017  mndvlid  20018  mndvrid  20019  grpvlinv  20020  grpvrinv  20021  mhmvlin  20022  tposmap  20082  mapfzcons  36297  elmapresaun  36352  ovnhoilem2  39492