Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndvass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndvass 20017
 Description: Tuple-wise associativity in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndvcl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
mndvcl.p + = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
mndvass ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))) → ((𝑋𝑓 + 𝑌) ∘𝑓 + 𝑍) = (𝑋𝑓 + (𝑌𝑓 + 𝑍)))

Proof of Theorem mndvass
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapex 7764 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
21simprd 478 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
323ad2ant1 1075 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
43adantl 481 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))) → 𝐼 ∈ V)
5 elmapi 7765 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝑋:𝐼𝐵)
653ad2ant1 1075 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑋:𝐼𝐵)
76adantl 481 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))) → 𝑋:𝐼𝐵)
8 elmapi 7765 . . . 4 (𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝑌:𝐼𝐵)
983ad2ant2 1076 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑌:𝐼𝐵)
109adantl 481 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))) → 𝑌:𝐼𝐵)
11 elmapi 7765 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝑍:𝐼𝐵)
12113ad2ant3 1077 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑍:𝐼𝐵)
1312adantl 481 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))) → 𝑍:𝐼𝐵)
14 mndvcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
15 mndvcl.p . . . 4 + = (+g𝑀)
1614, 15mndass 17125 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
1716adantlr 747 . 2 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
184, 7, 10, 13, 17caofass 6829 1 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))) → ((𝑋𝑓 + 𝑌) ∘𝑓 + 𝑍) = (𝑋𝑓 + (𝑌𝑓 + 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   ↑𝑚 cmap 7744  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Mndcmnd 17117 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746  df-sgrp 17107  df-mnd 17118 This theorem is referenced by:  mendring  36781
 Copyright terms: Public domain W3C validator