Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfzcons 36297
Description: Extending a one-based mapping by adding a tuple at the end results in another mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
Assertion
Ref Expression
mapfzcons ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑀)))

Proof of Theorem mapfzcons
StepHypRef Expression
1 simp2 1055 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)))
2 elmapex 7764 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) → (𝐵 ∈ V ∧ (1...𝑁) ∈ V))
32simpld 474 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) → 𝐵 ∈ V)
433ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵 ∈ V)
5 ovex 6577 . . . . . . 7 (1...𝑁) ∈ V
6 elmapg 7757 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ (1...𝑁) ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵))
74, 5, 6sylancl 693 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵))
81, 7mpbid 221 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
9 ovex 6577 . . . . . . . 8 (𝑁 + 1) ∈ V
10 simp3 1056 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
11 f1osng 6089 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶})
129, 10, 11sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶})
13 f1of 6050 . . . . . . 7 ({⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}–1-1-onto→{𝐶} → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶{𝐶})
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶{𝐶})
15 snssi 4280 . . . . . . 7 (𝐶𝐵 → {𝐶} ⊆ 𝐵)
16153ad2ant3 1077 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → {𝐶} ⊆ 𝐵)
1714, 16fssd 5970 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝐵)
18 fzp1disj 12269 . . . . . 6 ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
1918a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
20 fun 5979 . . . . 5 (((𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵 ∧ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝐵) ∧ ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵𝐵))
218, 17, 19, 20syl21anc 1317 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵𝐵))
22 1z 11284 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
23 simp1 1054 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24 nn0uz 11598 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
25 1m1e0 10966 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
2625fveq2i 6106 . . . . . . . . 9 (ℤ‘(1 − 1)) = (ℤ‘0)
2724, 26eqtr4i 2635 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘(1 − 1))
2823, 27syl6eleq 2698 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 − 1)))
29 fzsuc2 12268 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 − 1))) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3022, 28, 29sylancr 694 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3130eqcomd 2616 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) = (1...(𝑁 + 1)))
32 unidm 3718 . . . . . 6 (𝐵𝐵) = 𝐵
3332a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐵𝐵) = 𝐵)
3431, 33feq23d 5953 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((1...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝐵𝐵) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
3521, 34mpbid 221 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
36 ovex 6577 . . . 4 (1...(𝑁 + 1)) ∈ V
37 elmapg 7757 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ (1...(𝑁 + 1)) ∈ V) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
384, 36, 37sylancl 693 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(1...(𝑁 + 1))⟶𝐵))
3935, 38mpbird 246 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}) ∈ (𝐵𝑚 (1...(𝑁 + 1))))
40 mapfzcons.1 . . . . 5 𝑀 = (𝑁 + 1)
4140opeq1i 4343 . . . 4 𝑀, 𝐶⟩ = ⟨(𝑁 + 1), 𝐶
4241sneqi 4136 . . 3 {⟨𝑀, 𝐶⟩} = {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}
4342uneq2i 3726 . 2 (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) = (𝐴 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
4440oveq2i 6560 . . 3 (1...𝑀) = (1...(𝑁 + 1))
4544oveq2i 6560 . 2 (𝐵𝑚 (1...𝑀)) = (𝐵𝑚 (1...(𝑁 + 1)))
4639, 43, 453eltr4g 2705 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩}) ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  cun 3538  cin 3539  wss 3540  c0 3874  {csn 4125  cop 4131  wf 5800  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑚 cmap 7744  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  cmin 10145  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  ...cfz 12197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198
This theorem is referenced by:  rexrabdioph  36376
  Copyright terms: Public domain W3C validator