Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons Structured version   Unicode version

Theorem mapfzcons 34990
 Description: Extending a one-based mapping by adding a tuple at the end results in another mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1
Assertion
Ref Expression
mapfzcons

Proof of Theorem mapfzcons
StepHypRef Expression
1 simp2 998 . . . . . 6
2 elmapex 7476 . . . . . . . . 9
32simpld 457 . . . . . . . 8
433ad2ant2 1019 . . . . . . 7
5 ovex 6305 . . . . . . 7
6 elmapg 7469 . . . . . . 7
74, 5, 6sylancl 660 . . . . . 6
81, 7mpbid 210 . . . . 5
9 ovex 6305 . . . . . . . 8
10 simp3 999 . . . . . . . 8
11 f1osng 5836 . . . . . . . 8
129, 10, 11sylancr 661 . . . . . . 7
13 f1of 5798 . . . . . . 7
1412, 13syl 17 . . . . . 6
15 snssi 4115 . . . . . . 7
16153ad2ant3 1020 . . . . . 6
1714, 16fssd 5722 . . . . 5
18 fzp1disj 11791 . . . . . 6
1918a1i 11 . . . . 5
20 fun 5730 . . . . 5
218, 17, 19, 20syl21anc 1229 . . . 4
22 1z 10934 . . . . . . 7
23 simp1 997 . . . . . . . 8
24 nn0uz 11160 . . . . . . . . 9
25 1m1e0 10644 . . . . . . . . . 10
2625fveq2i 5851 . . . . . . . . 9
2724, 26eqtr4i 2434 . . . . . . . 8
2823, 27syl6eleq 2500 . . . . . . 7
29 fzsuc2 11790 . . . . . . 7
3022, 28, 29sylancr 661 . . . . . 6
3130eqcomd 2410 . . . . 5
32 unidm 3585 . . . . . 6
3332a1i 11 . . . . 5
3431, 33feq23d 5708 . . . 4
3521, 34mpbid 210 . . 3
36 ovex 6305 . . . 4
37 elmapg 7469 . . . 4
384, 36, 37sylancl 660 . . 3
3935, 38mpbird 232 . 2
40 mapfzcons.1 . . . . 5
4140opeq1i 4161 . . . 4
4241sneqi 3982 . . 3
4342uneq2i 3593 . 2
4440oveq2i 6288 . . 3
4544oveq2i 6288 . 2
4639, 43, 453eltr4g 2508 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  cvv 3058   cun 3411   cin 3412   wss 3413  c0 3737  csn 3971  cop 3977  wf 5564  wf1o 5567  cfv 5568  (class class class)co 6277   cmap 7456  cc0 9521  c1 9522   caddc 9524   cmin 9840  cn0 10835  cz 10904  cuz 11126  cfz 11724 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725 This theorem is referenced by:  rexrabdioph  35069
 Copyright terms: Public domain W3C validator