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Theorem mapfzcons 28961
Description: Extending a one-based mapping by adding a tuple at the end results in another mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
Assertion
Ref Expression
mapfzcons  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  ( A  u.  { <. M ,  C >. } )  e.  ( B  ^m  (
1 ... M ) ) )

Proof of Theorem mapfzcons
StepHypRef Expression
1 simp2 984 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  A  e.  ( B  ^m  (
1 ... N ) ) )
2 elmapex 7229 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  ( B  e.  _V  /\  (
1 ... N )  e. 
_V ) )
32simpld 456 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  B  e.  _V )
433ad2ant2 1005 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  B  e.  _V )
5 ovex 6115 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
6 elmapg 7223 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  <-> 
A : ( 1 ... N ) --> B ) )
74, 5, 6sylancl 657 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  <->  A :
( 1 ... N
) --> B ) )
81, 7mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  A : ( 1 ... N ) --> B )
9 ovex 6115 . . . . . . . 8  |-  ( N  +  1 )  e. 
_V
10 simp3 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  C  e.  B )
11 f1osng 5676 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  _V  /\  C  e.  B )  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { C } )
129, 10, 11sylancr 658 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } -1-1-onto-> { C } )
13 f1of 5638 . . . . . . 7  |-  ( {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { C }  ->  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> { C } )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> { C } )
15 snssi 4014 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  B  ->  { C }  C_  B )
16153ad2ant3 1006 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  { C }  C_  B )
17 fss 5564 . . . . . 6  |-  ( ( { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } --> { C }  /\  { C }  C_  B )  ->  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> B )
1814, 16, 17syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> B )
19 fzp1disj 11511 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  (
( 1 ... N
)  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/) )
21 fun 5572 . . . . 5  |-  ( ( ( A : ( 1 ... N ) --> B  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> B )  /\  ( ( 1 ... N )  i^i 
{ ( N  + 
1 ) } )  =  (/) )  ->  ( A  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) --> ( B  u.  B
) )
228, 18, 20, 21syl21anc 1212 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  ( A  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) --> ( B  u.  B
) )
23 1z 10672 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
24 simp1 983 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  N  e.  NN0 )
25 nn0uz 10891 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
26 1m1e0 10386 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
2726fveq2i 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) )  =  (
ZZ>= `  0 )
2825, 27eqtr4i 2464 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) )
2924, 28syl6eleq 2531 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )
30 fzsuc2 11510 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )  -> 
( 1 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
3123, 29, 30sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  (
1 ... ( N  + 
1 ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) )
3231eqcomd 2446 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  (
( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
33 unidm 3496 . . . . . 6  |-  ( B  u.  B )  =  B
3433a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  ( B  u.  B )  =  B )
3532, 34feq23d 5551 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  (
( A  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) --> ( B  u.  B )  <->  ( A  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } ) : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) --> B ) )
3622, 35mpbid 210 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  ( A  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) --> B )
37 ovex 6115 . . . 4  |-  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  e. 
_V
38 elmapg 7223 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  e.  _V )  ->  ( ( A  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  e.  ( B  ^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  <->  ( A  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } ) : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) --> B ) )
394, 37, 38sylancl 657 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  (
( A  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  e.  ( B  ^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  <->  ( A  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } ) : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) --> B ) )
4036, 39mpbird 232 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  ( A  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  e.  ( B  ^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
41 mapfzcons.1 . . . . 5  |-  M  =  ( N  +  1 )
4241opeq1i 4059 . . . 4  |-  <. M ,  C >.  =  <. ( N  +  1 ) ,  C >.
4342sneqi 3885 . . 3  |-  { <. M ,  C >. }  =  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. }
4443uneq2i 3504 . 2  |-  ( A  u.  { <. M ,  C >. } )  =  ( A  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
4541oveq2i 6101 . . 3  |-  ( 1 ... M )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
4645oveq2i 6101 . 2  |-  ( B  ^m  ( 1 ... M ) )  =  ( B  ^m  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) )
4740, 44, 463eltr4g 2524 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  ( A  u.  { <. M ,  C >. } )  e.  ( B  ^m  (
1 ... M ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   <.cop 3880   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    - cmin 9591   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434
This theorem is referenced by:  rexrabdioph  29041
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