MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndvcl 20016
Description: Tuple-wise additive closure in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndvcl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
mndvcl.p + = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
mndvcl ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑋𝑓 + 𝑌) ∈ (𝐵𝑚 𝐼))

Proof of Theorem mndvcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndvcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
2 mndvcl.p . . . . . 6 + = (+g𝑀)
31, 2mndcl 17124 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
433expb 1258 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
543ad2antl1 1216 . . 3 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
6 elmapi 7765 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝑋:𝐼𝐵)
763ad2ant2 1076 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑋:𝐼𝐵)
8 elmapi 7765 . . . 4 (𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝑌:𝐼𝐵)
983ad2ant3 1077 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝑌:𝐼𝐵)
10 elmapex 7764 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
1110simprd 478 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
12113ad2ant2 1076 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
13 inidm 3784 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
145, 7, 9, 12, 12, 13off 6810 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑋𝑓 + 𝑌):𝐼𝐵)
15 fvex 6113 . . . 4 (Base‘𝑀) ∈ V
161, 15eqeltri 2684 . . 3 𝐵 ∈ V
17 elmapg 7757 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ((𝑋𝑓 + 𝑌) ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↔ (𝑋𝑓 + 𝑌):𝐼𝐵))
1816, 12, 17sylancr 694 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → ((𝑋𝑓 + 𝑌) ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↔ (𝑋𝑓 + 𝑌):𝐼𝐵))
1914, 18mpbird 246 1 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵𝑚 𝐼)) → (𝑋𝑓 + 𝑌) ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑓 cof 6793  𝑚 cmap 7744  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Mndcmnd 17117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118
This theorem is referenced by:  ringvcl  20023  mamudi  20028  mamudir  20029
  Copyright terms: Public domain W3C validator