Theorem elmapresaun 36352

Description: fresaun 5988 transposed to mappings. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elmapresaun	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ (𝐶 ↑𝑚 (𝐴 ∪ 𝐵)))

Proof of Theorem elmapresaun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 7765	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐶)
2		elmapi 7765	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐵) → 𝐺:𝐵⟶𝐶)
3		id 22	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)))
4		fresaun 5988	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐵⟶𝐶 ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1360	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶)
6		elmapex 7764	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐴) → (𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
7	6	simpld 474	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐴) → 𝐶 ∈ V)
8	7	3ad2ant1 1075	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → 𝐶 ∈ V)
9	6	simprd 478	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
10		elmapex 7764	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐵) → (𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
11	10	simprd 478	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
12		unexg 6857	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
13	9, 11, 12	syl2an 493	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐵)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
14	13	3adant3 1074	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
15	8, 14	elmapd 7758	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ (𝐶 ↑𝑚 (𝐴 ∪ 𝐵)) ↔ (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶))
16	5, 15	mpbird 246	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑𝑚 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ (𝐶 ↑𝑚 (𝐴 ∪ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746

This theorem is referenced by:  diophin  36354  eldioph4b  36393  diophren  36395