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Theorem elmapresaun 29244
Description: fresaun 5677 transposed to mappings. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
elmapresaun  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) ) )

Proof of Theorem elmapresaun
StepHypRef Expression
1 elmapi 7331 . . 3  |-  ( F  e.  ( C  ^m  A )  ->  F : A --> C )
2 elmapi 7331 . . 3  |-  ( G  e.  ( C  ^m  B )  ->  G : B --> C )
3 id 22 . . 3  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B
) ) )
4 fresaun 5677 . . 3  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G ) : ( A  u.  B ) --> C )
51, 2, 3, 4syl3an 1261 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G ) : ( A  u.  B ) --> C )
6 elmapex 7330 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( C  ^m  A )  ->  ( C  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )
76simpld 459 . . . 4  |-  ( F  e.  ( C  ^m  A )  ->  C  e.  _V )
873ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  C  e.  _V )
96simprd 463 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( C  ^m  A )  ->  A  e.  _V )
10 elmapex 7330 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( C  ^m  B )  ->  ( C  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
1110simprd 463 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( C  ^m  B )  ->  B  e.  _V )
12 unexg 6478 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
139, 11, 12syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B ) )  -> 
( A  u.  B
)  e.  _V )
14133adant3 1008 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  _V )
15 elmapg 7324 . . 3  |-  ( ( C  e.  _V  /\  ( A  u.  B
)  e.  _V )  ->  ( ( F  u.  G )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  <-> 
( F  u.  G
) : ( A  u.  B ) --> C ) )
168, 14, 15syl2anc 661 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( F  u.  G )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B )
)  <->  ( F  u.  G ) : ( A  u.  B ) --> C ) )
175, 16mpbird 232 1  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3065    u. cun 3421    i^i cin 3422    |` cres 4937   -->wf 5509  (class class class)co 6187    ^m cmap 7311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-id 4731  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-fv 5521  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-map 7313
This theorem is referenced by:  diophin  29246  eldioph4b  29285  diophren  29287
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