Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elmapresaun Structured version   Unicode version

Theorem elmapresaun 30306
Description: fresaun 5754 transposed to mappings. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
elmapresaun  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) ) )

Proof of Theorem elmapresaun
StepHypRef Expression
1 elmapi 7437 . . 3  |-  ( F  e.  ( C  ^m  A )  ->  F : A --> C )
2 elmapi 7437 . . 3  |-  ( G  e.  ( C  ^m  B )  ->  G : B --> C )
3 id 22 . . 3  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B
) ) )
4 fresaun 5754 . . 3  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G ) : ( A  u.  B ) --> C )
51, 2, 3, 4syl3an 1270 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G ) : ( A  u.  B ) --> C )
6 elmapex 7436 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( C  ^m  A )  ->  ( C  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )
76simpld 459 . . . 4  |-  ( F  e.  ( C  ^m  A )  ->  C  e.  _V )
873ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  C  e.  _V )
96simprd 463 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( C  ^m  A )  ->  A  e.  _V )
10 elmapex 7436 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( C  ^m  B )  ->  ( C  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
1110simprd 463 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( C  ^m  B )  ->  B  e.  _V )
12 unexg 6583 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
139, 11, 12syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B ) )  -> 
( A  u.  B
)  e.  _V )
14133adant3 1016 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  _V )
15 elmapg 7430 . . 3  |-  ( ( C  e.  _V  /\  ( A  u.  B
)  e.  _V )  ->  ( ( F  u.  G )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  <-> 
( F  u.  G
) : ( A  u.  B ) --> C ) )
168, 14, 15syl2anc 661 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( F  u.  G )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B )
)  <->  ( F  u.  G ) : ( A  u.  B ) --> C ) )
175, 16mpbird 232 1  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475    |` cres 5001   -->wf 5582  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-map 7419
This theorem is referenced by:  diophin  30308  eldioph4b  30347  diophren  30349
  Copyright terms: Public domain W3C validator