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Theorem elmapresaun 35045
Description: fresaun 5738 transposed to mappings. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
elmapresaun  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) ) )

Proof of Theorem elmapresaun
StepHypRef Expression
1 elmapi 7477 . . 3  |-  ( F  e.  ( C  ^m  A )  ->  F : A --> C )
2 elmapi 7477 . . 3  |-  ( G  e.  ( C  ^m  B )  ->  G : B --> C )
3 id 22 . . 3  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B
) ) )
4 fresaun 5738 . . 3  |-  ( ( F : A --> C  /\  G : B --> C  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G ) : ( A  u.  B ) --> C )
51, 2, 3, 4syl3an 1272 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G ) : ( A  u.  B ) --> C )
6 elmapex 7476 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( C  ^m  A )  ->  ( C  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )
76simpld 457 . . . 4  |-  ( F  e.  ( C  ^m  A )  ->  C  e.  _V )
873ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  C  e.  _V )
96simprd 461 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( C  ^m  A )  ->  A  e.  _V )
10 elmapex 7476 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( C  ^m  B )  ->  ( C  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
1110simprd 461 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( C  ^m  B )  ->  B  e.  _V )
12 unexg 6582 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
139, 11, 12syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B ) )  -> 
( A  u.  B
)  e.  _V )
14133adant3 1017 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  _V )
158, 14elmapd 7470 . 2  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( ( F  u.  G )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B )
)  <->  ( F  u.  G ) : ( A  u.  B ) --> C ) )
165, 15mpbird 232 1  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  A )  /\  G  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    u. cun 3411    i^i cin 3412    |` cres 4824   -->wf 5564  (class class class)co 6277    ^m cmap 7456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-map 7458
This theorem is referenced by:  diophin  35047  eldioph4b  35086  diophren  35088
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