Theorem elmapd 7758

Description: Deduction form of elmapg 7757. (Contributed by BJ, 11-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elmapd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elmapd	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elmapd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		elmapg 7757	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∈ wcel 1977  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746

This theorem is referenced by:  elmapssres  7768  mapss  7786  ralxpmap  7793  mapen  8009  mapunen  8014  f1finf1o  8072  mapfienlem3  8195  mapfien  8196  cantnfs  8446  acni  8751  infmap2  8923  fin23lem32  9049  iundom2g  9241  wunf  9428  hashf1lem1  13096  hashf1lem2  13097  prdsplusg  15941  prdsmulr  15942  prdsvsca  15943  elsetchom  16554  setcco  16556  isga  17547  evls1sca  19509  mamures  20015  mat1dimmul  20101  1mavmul  20173  mdetunilem9  20245  cnpdis  20907  xkopjcn  21269  indishmph  21411  tsmsxplem2  21767  dchrfi  24780  fcobij  28888  mbfmcst  29648  1stmbfm  29649  2ndmbfm  29650  mbfmco  29653  sibfof  29729  mapco2g  36295  elmapresaun  36352  rfovcnvf1od  37318  fsovfd  37326  fsovcnvlem  37327  dssmapnvod  37334  clsk3nimkb  37358  ntrelmap  37443  clselmap  37445  k0004lem2  37466  elmapsnd  38391  mapss2  38392  unirnmap  38395  inmap  38396  difmapsn  38399  unirnmapsn  38401  dvnprodlem1  38836  fourierdlem14  39014  fourierdlem15  39015  fourierdlem81  39080  fourierdlem92  39091  rrnprjdstle  39197  subsaliuncllem  39251  hoidmvlelem3  39487  ovolval2lem  39533  ovolval4lem2  39540  ovolval5lem2  39543  ovnovollem1  39546  smfmullem4  39679  el0ldep  42049