Theorem difmapsn 38399

Description: Difference of two sets exponentiatiated to a singleton. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
difmapsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
difmapsn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
difmapsn.v	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
difmapsn	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶})) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐶}))

Proof of Theorem difmapsn

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶})) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 {𝐶}))
2	1	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 {𝐶}))
3		elmapi 7765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐴)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 {𝐶})) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐴)
5		difmapsn.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)
6		fsn2g 6311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 {𝐶})) → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
9	4, 8	mpbid 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 {𝐶})) → ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩}))
10	9	simpld 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 {𝐶})) → (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴)
11	2, 10	syldan 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) → (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴)
12		simpr 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵)
13	9	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 {𝐶})) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})
14	2, 13	syldan 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})
16	12, 15	jca 553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩}))
17		fsn2g 6311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
18	5, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
19	18	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
20	16, 19	mpbird 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐵)
21		difmapsn.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
22	21	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
23		snex 4835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐶} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → {𝐶} ∈ V)
25	22, 24	elmapd 7758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶𝐵))
26	20, 25	mpbird 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))
27		eldifn 3695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶})) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))
28	27	ad2antlr 759	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))
29	26, 28	pm2.65da 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) → ¬ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵)
30	11, 29	eldifd 3551	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) → (𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
31	30, 14	jca 553	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) → ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩}))
32		fsn2g 6311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
33	5, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
35	31, 34	mpbird 246	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) → 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵))
36		difmapsn.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
37		difssd 3700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
38	36, 37	ssexd 4733	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
39	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ∈ V)
40	38, 39	elmapd 7758	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵)))
41	40	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) → (𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵)))
42	35, 41	mpbird 246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))) → 𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐶}))
43	42	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐶}))
44		dfss3 3558	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶})) ⊆ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐶}) ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶}))𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐶}))
45	43, 44	sylibr 223	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶})) ⊆ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐶}))
46	5	snn0d 38284	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ≠ ∅)
47	36, 21, 39, 46	difmap 38394	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐶}) ⊆ ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶})))
48	45, 47	eqssd 3585	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐶})) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐶}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ⟨cop 4131  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746

This theorem is referenced by:  vonvolmbllem  39550  vonvolmbl  39551