Theorem mapfienlem3 8195

Description: Lemma 3 for mapfien 8196. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapfien.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
mapfien.t	⊢ 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷 ↑𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien.w	⊢ 𝑊 = (𝐺‘𝑍)
mapfien.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
mapfien.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐷)
mapfien.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
mapfien.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
mapfien.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
mapfien.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
mapfien.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapfienlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑥   𝜑,𝑔   𝑥,𝐷   𝑆,𝑔   𝑇,𝑔   𝑥,𝑊   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑔)   𝐵(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑔)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑊(𝑔)   𝑍(𝑔)

Proof of Theorem mapfienlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfien.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐷)
2		f1ocnv 6062	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐷 → ◡𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐵)
3		f1of 6050	. . . . . . 7 ⊢ (◡𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐺:𝐷⟶𝐵)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺:𝐷⟶𝐵)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ◡𝐺:𝐷⟶𝐵)
6		elrabi 3328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (𝐷 ↑𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊} → 𝑔 ∈ (𝐷 ↑𝑚 𝐶))
7		mapfien.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷 ↑𝑚 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
8	6, 7	eleq2s 2706	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 → 𝑔 ∈ (𝐷 ↑𝑚 𝐶))
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ (𝐷 ↑𝑚 𝐶))
10		elmapi 7765	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐷 ↑𝑚 𝐶) → 𝑔:𝐶⟶𝐷)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑔:𝐶⟶𝐷)
12		fco 5971	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐺:𝐷⟶𝐵 ∧ 𝑔:𝐶⟶𝐷) → (◡𝐺 ∘ 𝑔):𝐶⟶𝐵)
13	5, 11, 12	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (◡𝐺 ∘ 𝑔):𝐶⟶𝐵)
14		mapfien.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
15		f1ocnv 6062	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶)
16		f1of 6050	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶 → ◡𝐹:𝐴⟶𝐶)
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝐴⟶𝐶)
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ◡𝐹:𝐴⟶𝐶)
19		fco 5971	. . . 4 ⊢ (((◡𝐺 ∘ 𝑔):𝐶⟶𝐵 ∧ ◡𝐹:𝐴⟶𝐶) → ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹):𝐴⟶𝐵)
20	13, 18, 19	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹):𝐴⟶𝐵)
21		mapfien.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
22		mapfien.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
23	21, 22	elmapd 7758	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐴) ↔ ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹):𝐴⟶𝐵))
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐴) ↔ ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹):𝐴⟶𝐵))
25	20, 24	mpbird 246	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐴))
26		mapfien.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
27		mapfien.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝐺‘𝑍)
28		mapfien.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
29		mapfien.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
30		mapfien.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
31	26, 7, 27, 14, 1, 22, 21, 28, 29, 30	mapfienlem2 8194	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) finSupp 𝑍)
32		breq1 4586	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) → (𝑥 finSupp 𝑍 ↔ ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) finSupp 𝑍))
33	32, 26	elrab2 3333	. 2 ⊢ (((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑆 ↔ (((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐴) ∧ ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) finSupp 𝑍))
34	25, 31, 33	sylanbrc 695	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  ^◡ccnv 5037   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744   finSupp cfsupp 8158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-fin 7845  df-fsupp 8159

This theorem is referenced by:  mapfien  8196