Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnprjdstle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrnprjdstle 39197
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnprjdstle.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
rrnprjdstle.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
rrnprjdstle.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℝ)
rrnprjdstle.i (𝜑𝐼𝑋)
rrnprjdstle.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
Assertion
Ref Expression
rrnprjdstle (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))) ≤ (𝐹𝐷𝐺))

Proof of Theorem rrnprjdstle
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnprjdstle.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
2 rrnprjdstle.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑋)
31, 2ffvelrnd 6268 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
4 rrnprjdstle.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℝ)
54, 2ffvelrnd 6268 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐼) ∈ ℝ)
6 eqid 2610 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
76remetdval 22400 . . . 4 (((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐼) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)) = (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))))
83, 5, 7syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)) = (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))))
98eqcomd 2616 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))) = ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)))
10 rrnprjdstle.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
11 reex 9906 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1211a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
1312, 10elmapd 7758 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
141, 13mpbird 246 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
15 eqid 2610 . . . . . 6 (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
16 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = (Base‘(ℝ^‘𝑋))
1710, 15, 16rrxbasefi 39179 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = (ℝ ↑𝑚 𝑋))
1815, 16rrxbase 22984 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Fin → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0})
1910, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0})
2017, 19eqtr3d 2646 . . . 4 (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝑋) = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0})
2114, 20eleqtrd 2690 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0})
2212, 10elmapd 7758 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↔ 𝐺:𝑋⟶ℝ))
234, 22mpbird 246 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
2423, 20eleqtrd 2690 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0})
25 eqid 2610 . . . 4 { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0} = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0}
26 rrnprjdstle.d . . . 4 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
2725, 26, 6rrxdstprj1 23000 . . 3 (((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐼𝑋) ∧ (𝐹 ∈ { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0} ∧ 𝐺 ∈ { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0})) → ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
2810, 2, 21, 24, 27syl22anc 1319 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
299, 28eqbrtrd 4605 1 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   × cxp 5036  cres 5040  ccom 5042  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  cr 9814  0cc0 9815  cle 9954  cmin 10145  abscabs 13822  Basecbs 15695  distcds 15777  ℝ^crrx 22979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-field 18573  df-subrg 18601  df-staf 18668  df-srng 18669  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-xmet 19560  df-met 19561  df-cnfld 19568  df-refld 19770  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-nm 22197  df-tng 22199  df-tch 22777  df-rrx 22981
This theorem is referenced by:  ioorrnopnlem  39200
  Copyright terms: Public domain W3C validator