Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clselmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clselmap 37445
Description: The closure function is a map from the powerset of the base set to itself. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clselmap.x 𝑋 = 𝐽
clselmap.k 𝐾 = (cls‘𝐽)
Assertion
Ref Expression
clselmap (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋𝑚 𝒫 𝑋))

Proof of Theorem clselmap
StepHypRef Expression
1 clselmap.x . . 3 𝑋 = 𝐽
2 clselmap.k . . 3 𝐾 = (cls‘𝐽)
31, 2clsf2 37444 . 2 (𝐽 ∈ Top → 𝐾:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)
41topopn 20536 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
5 pwexg 4776 . . . 4 (𝑋𝐽 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
64, 5syl 17 . . 3 (𝐽 ∈ Top → 𝒫 𝑋 ∈ V)
76, 6elmapd 7758 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐾 ∈ (𝒫 𝑋𝑚 𝒫 𝑋) ↔ 𝐾:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋))
83, 7mpbird 246 1 (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋𝑚 𝒫 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  𝒫 cpw 4108   cuni 4372  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑚 cmap 7744  Topctop 20517  clsccl 20632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-top 20521  df-cld 20633  df-cls 20635
This theorem is referenced by:  dssmapntrcls  37446  dssmapclsntr  37447
  Copyright terms: Public domain W3C validator