MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimmul 20101
Description: The ring multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 18-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dimmul (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})

Proof of Theorem mat1dimmul
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 7923 . . . . 5 {𝐸} ∈ Fin
2 simpl 472 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
3 mat1dim.a . . . . . . 7 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
4 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩)
53, 4matmulr 20063 . . . . . 6 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩) = (.r𝐴))
65eqcomd 2616 . . . . 5 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
71, 2, 6sylancr 694 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (.r𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
87adantr 480 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (.r𝐴) = (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩))
98oveqd 6566 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
10 mat1dim.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
11 eqid 2610 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
122adantr 480 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
131a1i 11 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {𝐸} ∈ Fin)
14 opex 4859 . . . . . . 7 𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
1514a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
16 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
1716adantl 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
1815, 17fsnd 6091 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵)
19 mat1dim.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
2019opeq1i 4343 . . . . . . . . 9 𝑂, 𝑋⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋
2120sneqi 4136 . . . . . . . 8 {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝐸𝑉 → {⟨𝑂, 𝑋⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩})
23 xpsng 6312 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
2423anidms 675 . . . . . . 7 (𝐸𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
2522, 24feq12d 5946 . . . . . 6 (𝐸𝑉 → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
2625ad2antlr 759 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
2718, 26mpbird 246 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
28 fvex 6113 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
2910, 28eqeltri 2684 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3029a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
31 snex 4835 . . . . . . 7 {𝐸} ∈ V
3231, 31xpex 6860 . . . . . 6 ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V
3332a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) ∈ V)
3430, 33elmapd 7758 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (𝐵𝑚 ({𝐸} × {𝐸})) ↔ {⟨𝑂, 𝑋⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
3527, 34mpbird 246 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} ∈ (𝐵𝑚 ({𝐸} × {𝐸})))
36 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
3736adantl 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
3815, 37fsnd 6091 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵)
3919opeq1i 4343 . . . . . . . . 9 𝑂, 𝑌⟩ = ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌
4039sneqi 4136 . . . . . . . 8 {⟨𝑂, 𝑌⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝐸𝑉 → {⟨𝑂, 𝑌⟩} = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩})
4241, 24feq12d 5946 . . . . . 6 (𝐸𝑉 → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
4342ad2antlr 759 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵 ↔ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}:{⟨𝐸, 𝐸⟩}⟶𝐵))
4438, 43mpbird 246 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵)
4530, 33elmapd 7758 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (𝐵𝑚 ({𝐸} × {𝐸})) ↔ {⟨𝑂, 𝑌⟩}:({𝐸} × {𝐸})⟶𝐵))
4644, 45mpbird 246 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (𝐵𝑚 ({𝐸} × {𝐸})))
474, 10, 11, 12, 13, 13, 13, 35, 46mamuval 20011 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (𝑅 maMul ⟨{𝐸}, {𝐸}, {𝐸}⟩){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))))
48 simpr 476 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐸𝑉)
4948adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐸𝑉)
50 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
51 ringcmn 18404 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
5251ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑅 ∈ CMnd)
53 df-ov 6552 . . . . . . . . . 10 (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
5421fveq1i 6104 . . . . . . . . . 10 ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
5553, 54eqtri 2632 . . . . . . . . 9 (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
5614a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
5756anim2i 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐵 ∧ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V))
5857ancomd 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋𝐵))
59 fvsng 6352 . . . . . . . . . . 11 ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
6160adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑋)
6255, 61syl5eq 2656 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) = 𝑋)
6362, 17eqeltrd 2688 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) ∈ 𝐵)
64 df-ov 6552 . . . . . . . . . 10 (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
6540fveq1i 6104 . . . . . . . . . 10 ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
6664, 65eqtri 2632 . . . . . . . . 9 (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩)
6714a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
68 fvsng 6352 . . . . . . . . . . 11 ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑌𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
6967, 68sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
7069adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑌⟩}‘⟨𝐸, 𝐸⟩) = 𝑌)
7166, 70syl5eq 2656 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = 𝑌)
7271, 37eqeltrd 2688 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) ∈ 𝐵)
7310, 11ringcl 18384 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸) ∈ 𝐵 ∧ (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) ∈ 𝐵) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵)
7412, 63, 72, 73syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵)
75 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐸 → (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸))
76 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐸 → (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))
7775, 76oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐸 → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
7810eqcomi 2619 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = 𝐵
7978a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐸 → (Base‘𝑅) = 𝐵)
8077, 79eleq12d 2682 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐸 → (((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
8180ralsng 4165 . . . . . . 7 (𝐸𝑉 → (∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
8281ad2antlr 759 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵))
8374, 82mpbird 246 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ∀𝑘 ∈ {𝐸} ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ (Base‘𝑅))
8450, 52, 13, 83gsummptcl 18189 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) ∈ (Base‘𝑅))
85 eqid 2610 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))))
86 oveq1 6556 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐸 → (𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘) = (𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘))
8786oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐸 → ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))
8887mpteq2dv 4673 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐸 → (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))) = (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))
8988oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑥 = 𝐸 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))))
90 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐸 → (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦) = (𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))
9190oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐸 → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
9291mpteq2dv 4673 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐸 → (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))) = (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))
9392oveq2d 6565 . . . . 5 (𝑦 = 𝐸 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))))
9485, 89, 93mpt2sn 7155 . . . 4 ((𝐸𝑉𝐸𝑉 ∧ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩})
9549, 49, 84, 94syl3anc 1318 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩})
9619eqcomi 2619 . . . . . 6 𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
9796a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂)
98 ringmnd 18379 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
9998ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑅 ∈ Mnd)
10010, 77gsumsn 18177 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐸𝑉 ∧ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) ∈ 𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
10199, 49, 74, 100syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))) = ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)))
10297, 101opeq12d 4348 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩ = ⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩)
103102sneqd 4137 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))))⟩} = {⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩})
10462, 71oveq12d 6567 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸)) = (𝑋(.r𝑅)𝑌))
105104opeq2d 4347 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩ = ⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩)
106105sneqd 4137 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, ((𝐸{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝐸)(.r𝑅)(𝐸{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝐸))⟩} = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})
10795, 103, 1063eqtrd 2648 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑥 ∈ {𝐸}, 𝑦 ∈ {𝐸} ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝐸} ↦ ((𝑥{⟨𝑂, 𝑋⟩}𝑘)(.r𝑅)(𝑘{⟨𝑂, 𝑌⟩}𝑦))))) = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})
1089, 47, 1073eqtrd 2648 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩} (.r𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  Vcvv 3173  {csn 4125  cop 4131  cotp 4133  cmpt 4643   × cxp 5036  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cmpt2 6551  𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  Basecbs 15695  .rcmulr 15769   Σg cgsu 15924  Mndcmnd 17117  CMndccmn 18016  Ringcrg 18370   maMul cmmul 20008   Mat cmat 20032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-mamu 20009  df-mat 20033
This theorem is referenced by:  mat1dimcrng  20102
  Copyright terms: Public domain W3C validator