MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringcl 18384
Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ringcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21ringmgp 18376 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3 ringcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
41, 3mgpbas 18318 . . 3 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5 ringcl.t . . . 4 · = (.r𝑅)
61, 5mgpplusg 18316 . . 3 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
74, 6mndcl 17124 . 2 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
82, 7syl3an1 1351 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  Mndcmnd 17117  mulGrpcmgp 18312  Ringcrg 18370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mgp 18313  df-ring 18372
This theorem is referenced by:  ringlz  18410  ringrz  18411  ringnegl  18417  rngnegr  18418  ringmneg1  18419  ringmneg2  18420  ringm2neg  18421  ringsubdi  18422  rngsubdir  18423  mulgass2  18424  ringlghm  18427  ringrghm  18428  gsumdixp  18432  prdsmulrcl  18434  imasring  18442  qusring2  18443  opprring  18454  dvdsrcl2  18473  dvdsrtr  18475  dvdsrmul1  18476  dvrcl  18509  dvrass  18513  irredrmul  18530  isdrngd  18595  subrgmcl  18615  abvtrivd  18663  srngmul  18681  issrngd  18684  idsrngd  18685  lmodmcl  18698  lmodprop2d  18748  prdslmodd  18790  sralmod  19008  2idlcpbl  19055  qusrhm  19058  quscrng  19061  assa2ass  19143  assapropd  19148  asclrhm  19163  psrmulcllem  19208  psrvscacl  19214  psrlmod  19222  psrlidm  19224  psrridm  19225  psrass1  19226  psrdi  19227  psrdir  19228  psrass23l  19229  psrcom  19230  psrass23  19231  mplmonmul  19285  mplmon2mul  19322  mplind  19323  evlslem2  19333  evlslem6  19334  evlslem3  19335  evlslem1  19336  mpfind  19357  psropprmul  19429  coe1mul2  19460  coe1tmmul2  19467  coe1tmmul  19468  evl1muld  19528  frlmphl  19939  mamucl  20026  mamuass  20027  mamudi  20028  mamudir  20029  mamuvs1  20030  mamuvs2  20031  mamulid  20066  mamurid  20067  madetsmelbas  20089  madetsmelbas2  20090  mat1dimscm  20100  mat1dimmul  20101  mat1mhm  20109  dmatmul  20122  dmatmulcl  20125  scmatscmiddistr  20133  scmatscm  20138  scmatmulcl  20143  smatvscl  20149  scmatmhm  20159  mavmulcl  20172  mavmulass  20174  mdetleib2  20213  mdetf  20220  mdetrlin  20227  mdetrsca  20228  mdetrsca2  20229  mdetralt  20233  mdetero  20235  mdetuni0  20246  mdetmul  20248  m2detleib  20256  madugsum  20268  madulid  20270  cpmatmcllem  20342  cpmatmcl  20343  mat2pmatmul  20355  decpmatmullem  20395  decpmatmul  20396  decpmatmulsumfsupp  20397  pm2mpmhmlem1  20442  pm2mpmhmlem2  20443  chfacfisf  20478  chfacfscmulgsum  20484  chfacfpmmulcl  20485  chfacfpmmulgsum  20488  chfacfpmmulgsum2  20489  cayhamlem1  20490  cpmadugsumlemF  20500  cayhamlem4  20512  nrgdsdi  22279  nrgdsdir  22280  nrginvrcnlem  22305  mdegmullem  23642  coe1mul3  23663  deg1mul2  23678  deg1mul3  23679  deg1mul3le  23680  ply1domn  23687  ply1divmo  23699  ply1divex  23700  uc1pmon1p  23715  r1pcl  23721  r1pid  23723  dvdsq1p  23724  dvdsr1p  23725  ply1rem  23727  dchrelbas3  24763  dchrmulcl  24774  dchrinv  24786  abvcxp  25104  rdivmuldivd  29122  ornglmulle  29136  orngrmulle  29137  ornglmullt  29138  orngrmullt  29139  orngmullt  29140  mdetpmtr1  29217  matunitlindflem1  32575  matunitlindflem2  32576  lflnegcl  33380  lflvscl  33382  lkrlsp  33407  ldualvsass  33446  lclkrlem2m  35826  lclkrlem2o  35828  lclkrlem2p  35829  lcfrlem2  35850  lcfrlem3  35851  lcfrlem29  35878  mapdpglem30  36009  hdmapglem7  36239  hbtlem2  36713  mendlmod  36782  mendassa  36783  isdomn3  36801  mon1psubm  36803  deg1mhm  36804  lidldomn1  41711  ply1mulgsum  41972  lincscm  42013  lincscmcl  42015  lincresunitlem2  42059  lmod1lem4  42073
  Copyright terms: Public domain W3C validator