Theorem rngsubdir 18423

Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdir 10343 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringsubdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringsubdi.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringsubdi.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
ringsubdi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringsubdi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringsubdi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ringsubdi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rngsubdir	⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem rngsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringsubdi.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringsubdi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringgrp 18375	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		ringsubdi.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		ringsubdi.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
8	6, 7	grpinvcl 17290	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
9	4, 5, 8	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
10		ringsubdi.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
11		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
12		ringsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	6, 11, 12	ringdir 18390	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍)))
14	1, 2, 9, 10, 13	syl13anc 1320	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍)))
15	6, 12, 7, 1, 5, 10	ringmneg1 18419	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍) = ((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍)))
16	15	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)(((invg‘𝑅)‘𝑌) · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
17	14, 16	eqtrd 2644	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
18		ringsubdi.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
19	6, 11, 7, 18	grpsubval 17288	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)))
20	2, 5, 19	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)))
21	20	oveq1d 6564	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑌)) · 𝑍))
22	6, 12	ringcl 18384	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
23	1, 2, 10, 22	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
24	6, 12	ringcl 18384	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
25	1, 5, 10, 24	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
26	6, 11, 7, 18	grpsubval 17288	. . 3 ⊢ (((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
27	23, 25, 26	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
28	17, 21, 27	3eqtr4d 2654	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) − (𝑌 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  ._rcmulr 15769  Grpcgrp 17245  inv_gcminusg 17246  -_gcsg 17247  Ringcrg 18370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372

This theorem is referenced by:  2idlcpbl  19055  cpmadugsumfi  20501  nrgdsdir  22280  nrginvrcnlem  22305  orngrmulle  29137  lidldomn1  41711