Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngsubdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngsubdir 18423
 Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdir 10343 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringsubdi.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringsubdi.t · = (.r𝑅)
ringsubdi.m = (-g𝑅)
ringsubdi.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringsubdi.x (𝜑𝑋𝐵)
ringsubdi.y (𝜑𝑌𝐵)
ringsubdi.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
rngsubdir (𝜑 → ((𝑋 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem rngsubdir
StepHypRef Expression
1 ringsubdi.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 ringsubdi.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
3 ringgrp 18375 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
5 ringsubdi.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
6 ringsubdi.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 eqid 2610 . . . . . 6 (invg𝑅) = (invg𝑅)
86, 7grpinvcl 17290 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
94, 5, 8syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
10 ringsubdi.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
11 eqid 2610 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
12 ringsubdi.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
136, 11, 12ringdir 18390 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)(((invg𝑅)‘𝑌) · 𝑍)))
141, 2, 9, 10, 13syl13anc 1320 . . 3 (𝜑 → ((𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)(((invg𝑅)‘𝑌) · 𝑍)))
156, 12, 7, 1, 5, 10ringmneg1 18419 . . . 4 (𝜑 → (((invg𝑅)‘𝑌) · 𝑍) = ((invg𝑅)‘(𝑌 · 𝑍)))
1615oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)(((invg𝑅)‘𝑌) · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
1714, 16eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → ((𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
18 ringsubdi.m . . . . 5 = (-g𝑅)
196, 11, 7, 18grpsubval 17288 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)))
202, 5, 19syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)))
2120oveq1d 6564 . 2 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)) · 𝑍))
226, 12ringcl 18384 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
231, 2, 10, 22syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
246, 12ringcl 18384 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
251, 5, 10, 24syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
266, 11, 7, 18grpsubval 17288 . . 3 (((𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
2723, 25, 26syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑍)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝑌 · 𝑍))))
2817, 21, 273eqtr4d 2654 1 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) (𝑌 · 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  -gcsg 17247  Ringcrg 18370 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372 This theorem is referenced by:  2idlcpbl  19055  cpmadugsumfi  20501  nrgdsdir  22280  nrginvrcnlem  22305  orngrmulle  29137  lidldomn1  41711
 Copyright terms: Public domain W3C validator