Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul3le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mul3le 23680
 Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul3le.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1mul3le.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1mul3le.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1mul3le.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul3le.t · = (.r𝑃)
deg1mul3le.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
deg1mul3le ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) ≤ (𝐷𝐺))

Proof of Theorem deg1mul3le
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1mul3le.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 19439 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4 deg1mul3le.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5 deg1mul3le.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑅)
6 deg1mul3le.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑃)
71, 4, 5, 6ply1sclf 19476 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾𝐵)
873ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → 𝐴:𝐾𝐵)
9 simp2 1055 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → 𝐹𝐾)
108, 9ffvelrnd 6268 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐴𝐹) ∈ 𝐵)
11 simp3 1056 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
12 deg1mul3le.t . . . . . . 7 · = (.r𝑃)
136, 12ringcl 18384 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴𝐹) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
143, 10, 11, 13syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
15 eqid 2610 . . . . . 6 (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))
1615, 6, 1, 5coe1f 19402 . . . . 5 (((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)):ℕ0𝐾)
1714, 16syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)):ℕ0𝐾)
18 eldifi 3694 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
19 simpl1 1057 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
20 simpl2 1058 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝐹𝐾)
21 simpl3 1059 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝐺𝐵)
22 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℕ0)
23 eqid 2610 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
241, 6, 5, 4, 12, 23coe1sclmulfv 19474 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r𝑅)((coe1𝐺)‘𝑎)))
2519, 20, 21, 22, 24syl121anc 1323 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r𝑅)((coe1𝐺)‘𝑎)))
2618, 25sylan2 490 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r𝑅)((coe1𝐺)‘𝑎)))
27 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
2827, 6, 1, 5coe1f 19402 . . . . . . . 8 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0𝐾)
29283ad2ant3 1077 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (coe1𝐺):ℕ0𝐾)
30 ssid 3587 . . . . . . . 8 ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅))
3130a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))
32 nn0ex 11175 . . . . . . . 8 0 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ℕ0 ∈ V)
34 fvex 6113 . . . . . . . 8 (0g𝑅) ∈ V
3534a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (0g𝑅) ∈ V)
3629, 31, 33, 35suppssr 7213 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → ((coe1𝐺)‘𝑎) = (0g𝑅))
3736oveq2d 6565 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → (𝐹(.r𝑅)((coe1𝐺)‘𝑎)) = (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)))
38 eqid 2610 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
395, 23, 38ringrz 18411 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾) → (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
40393adant3 1074 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
4140adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
4226, 37, 413eqtrd 2648 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (0g𝑅))
4317, 42suppss 7212 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)) ⊆ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))
44 suppssdm 7195 . . . . 5 ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (coe1𝐺)
45 fdm 5964 . . . . . 6 ((coe1𝐺):ℕ0𝐾 → dom (coe1𝐺) = ℕ0)
4629, 45syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → dom (coe1𝐺) = ℕ0)
4744, 46syl5sseq 3616 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ ℕ0)
48 nn0ssre 11173 . . . . 5 0 ⊆ ℝ
49 ressxr 9962 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
5048, 49sstri 3577 . . . 4 0 ⊆ ℝ*
5147, 50syl6ss 3580 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ ℝ*)
52 supxrss 12034 . . 3 ((((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)) ⊆ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ∧ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ ℝ*) → sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ) ≤ sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
5343, 51, 52syl2anc 691 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ) ≤ sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
54 deg1mul3le.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
5554, 1, 6, 38, 15deg1val 23660 . . 3 (((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
5614, 55syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
5754, 1, 6, 38, 27deg1val 23660 . . 3 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) = sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
58573ad2ant3 1077 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐷𝐺) = sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
5953, 56, 583brtr4d 4615 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) ≤ (𝐷𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   supp csupp 7182  supcsup 8229  ℝcr 9814  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  Ringcrg 18370  algSccascl 19132  Poly1cpl1 19368  coe1cco1 19369   deg1 cdg1 23618 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-vr1 19372  df-ply1 19373  df-coe1 19374  df-cnfld 19568  df-mdeg 23619  df-deg1 23620 This theorem is referenced by:  hbtlem2  36713
 Copyright terms: Public domain W3C validator